場の量子論⑪ ディラック場のハミルトニアン
ディラック場のハミルトニアンを導出する
ディラック場でもラグランジアンからハミルトニアンを導出できます。ディラック場のハミルトニアンの式
ハミルトニアン密度はラグランジアン密度からルジャンドル変換で求められます。\begin{align*}
\mathcal{H}
&=\pi\dot{\psi}-\mathcal{L}
\end{align*}
ただし、ディラック場の共役運動量は、
\begin{align*}
\pi&=i\hbar\psi^\dagger
\end{align*}
と表されました。また、ラグランジアンは
\begin{align*}
\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\hbar c\gamma^\mu\partial_\mu-mc^2)\psi
\end{align*}
でした。ここで、ディラック共役は$\bar{\psi}$$=\psi^\dagger\gamma^0$でした。よって、ハミルトニアン密度は
\begin{align*}
\mathcal{H}
&=i\hbar\psi^\dagger\dot{\psi}-\bar{\psi}(i\hbar c\gamma^\mu\partial_\mu-mc^2)\psi
\end{align*}
第二項(括弧の部分)について、これはそもそもディラック方程式
\begin{align*}
(i\hbar c\gamma^\mu\partial_\mu-mc^2)\psi=0
\end{align*}
と同じ形です。よって、0として扱いましょう。
\begin{align*}
\mathcal{H}=i\hbar\psi^\dagger\dot{\psi}
\end{align*}
場を演算子化して計算する
場を演算子化して計算を進めます。演算子化された場は以下のような式でした。\begin{align*}
\hat{\psi}=\int d^3k\sqrt{\dfrac{mc^2}{(2\pi)^32\hbar\omega_k}}\sum_{s=\pm}\left(\hat{c}_{k,s}u_{k,s}e^{-ikx}+\hat{d}^\dagger_{k,s} v_{k,s}e^{ikx}\right)
\end{align*}
ただし、
\begin{align*}
u^a_{k,s}u^b_{k,s^\prime}&=\dfrac{\hbar\omega_k}{2mc^2}\delta^{ab}\delta_{ss^\prime} \\
v^a_{k,s}v^b_{k,s^\prime}&=\dfrac{\hbar\omega_k}{2mc^2}\delta^{ab}\delta_{ss^\prime} \\
\left\{\hat{c}_{k,s},\hat{c}_{k^\prime,s}\right\}&=\delta^{(3)}(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^\prime) \\
\left\{\hat{d}_{k,s},\hat{d}_{k^\prime,s}\right\}&=\delta^{(3)}(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^\prime)
\end{align*}
ハミルトニアン密度の式に使う場の時間微分は、
\begin{align*}
\hat{\dot{\psi}}=i\int d^3k \sqrt{\dfrac{mc^2\omega_k}{(2\pi)^32\hbar}}\sum_{s=\pm}\left(-\hat{c}_{k,s}u_{k,s}e^{-ikx}+\hat{d}^\dagger_{k,s} v_{k,s}e^{ikx}\right)
\end{align*}
時間微分のほうの変数を$k^\prime$,$s^\prime$と置き換えて、ハミルトニアンを計算すると、
\begin{align*}
\mathcal{H}
&=i\hbar\hat{\psi}^\dagger\hat{\dot{\psi}} \\
&=i\hbar\left[\int d^3k\sqrt{\dfrac{mc^2}{(2\pi)^32\hbar\omega_k}}\sum_{s=\pm}\left(\hat{c}^\dagger_{k,s}u^\dagger_{k,s}e^{ikx}+\hat{d}_{k,s} v^\dagger_{k,s}e^{-ikx}\right)\right]
\left[i\int d^3k^\prime \sqrt{\dfrac{mc^2\omega_k^\prime}{(2\pi)^32\hbar}}\sum_{s^\prime=\pm}\left(-\hat{c}_{k^\prime,s^\prime}u_{k^\prime,s^\prime}e^{-ik^\prime x}+\hat{d}^\dagger_{k^\prime,s^\prime} v_{k^\prime,s^\prime}e^{ik^\prime x}\right)\right] \\
&=\dfrac{mc^2}{(2\pi)^32}\iint d^3k \ d^3k^\prime \sqrt{\dfrac{\omega_{k^\prime}}{\omega_k}}\sum_{s=\pm}\sum_{s^\prime=\pm}\left(\hat{c}^\dagger_{k,s}u^\dagger_{k,s}e^{ikx}+\hat{d}_{k,s} v^\dagger_{k,s}e^{-ikx}\right)\left(\hat{c}_{k^\prime,s^\prime}u_{k^\prime,s^\prime}e^{-ik^\prime x}-\hat{d}^\dagger_{k^\prime,s^\prime} v_{k^\prime,s^\prime}e^{ik^\prime x}\right) \\
&=\dfrac{mc^2}{(2\pi)^32}\iint d^3k \ d^3k^\prime \sqrt{\dfrac{\omega_{k^\prime}}{\omega_k}}\sum_{s=\pm}\sum_{s^\prime=\pm}
\left(
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k^\prime,s^\prime}u^\dagger_{k,s}u_{k^\prime,s^\prime}e^{i(k-k^\prime)x}
-
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{d}^\dagger_{k^\prime,s^\prime}u^\dagger_{k,s}v_{k^\prime,s^\prime}e^{i(k+k^\prime)x}
+
\hat{d}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k^\prime,s^\prime}v^\dagger_{k,s}u_{k^\prime,s^\prime}e^{-i(k+k^\prime)x}
-
\hat{d}_{k,s}\hat{d}^\dagger_{k^\prime,s^\prime}v^\dagger_{k,s}v_{k^\prime,s^\prime}e^{-i(k-k^\prime)x}
\right) \\
&=\dfrac{mc^2}{(2\pi)^32}\iint d^3k \ d^3k^\prime \sqrt{\dfrac{\omega_{k^\prime}}{\omega_k}}\sum_{s=\pm}\sum_{s^\prime=\pm}
\left(
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k^\prime,s^\prime}u^\dagger_{k,s}u_{k^\prime,s^\prime}
e^{i(\omega_k-\omega_{k^\prime})t}e^{-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^\prime)\cdot\boldsymbol{x}}
-
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{d}^\dagger_{k^\prime,s^\prime}u^\dagger_{k,s}v_{k^\prime,s^\prime}
e^{i(\omega_k-\omega_{k^\prime})t}e^{-i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}^\prime)\cdot\boldsymbol{x}}
+
\hat{d}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k^\prime,s^\prime}v^\dagger_{k,s}u_{k^\prime,s^\prime} e^{-i(\omega_k+\omega_{k^\prime})t}e^{i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}^\prime)\cdot\boldsymbol{x}}
-
\hat{d}_{k,s}\hat{d}^\dagger_{k^\prime,s^\prime}v^\dagger_{k,s}v_{k^\prime,s^\prime}
e^{-i(\omega_k-\omega_{k^\prime})t}e^{i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^\prime)\cdot\boldsymbol{x}}
\right)
\end{align*}
今、計算しているのはハミルトニアン密度です。このままだと計算を進められないので、空間全体で積分してハミルトニアンを求めたいと思います。
\begin{align*}
\hat{H}&=\int d^3x\ \hat{\mathcal{H}} \\
\end{align*}
ただし、ハミルトニアン密度に含まれる空間座標$x$に依存する項は$e^{-i(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^\prime)x}$の項のみです。デルタ関数のフーリエ積分表示より、
\begin{align*}
\dfrac{1}{(2\pi)^3}\int d^3 x\ e^{\pm i(\boldsymbol{k}\pm \boldsymbol{k}^\prime)\cdot\boldsymbol{x}}=\delta(\boldsymbol{k}\pm \boldsymbol{k}^\prime)
\end{align*}
となります。よって、ハミルトニアンは、
\begin{align*}
\hat{H}&=
\dfrac{mc^2}{2}\iint d^3k \ d^3k^\prime \sqrt{\dfrac{\omega_{k^\prime}}{\omega_k}}\sum_{s=\pm}\sum_{s^\prime=\pm}
\left(
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k^\prime,s^\prime}u^\dagger_{k,s}u_{k^\prime,s^\prime}
e^{i(\omega_k-\omega_{k^\prime})t}\delta(\boldsymbol{k}- \boldsymbol{k}^\prime)
-
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{d}^\dagger_{k^\prime,s^\prime}u^\dagger_{k,s}v_{k^\prime,s^\prime}
e^{i(\omega_k+\omega_{k^\prime})t}\delta(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}^\prime)
+
\hat{d}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k^\prime,s^\prime}v^\dagger_{k,s}u_{k^\prime,s^\prime} e^{-i(\omega_k+\omega_{k^\prime})t}\delta(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}^\prime)
-
\hat{d}_{k,s}\hat{d}^\dagger_{k^\prime,s^\prime}v^\dagger_{k,s}v_{k^\prime,s^\prime}
e^{-i(\omega_k-\omega_{k^\prime})t}\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^\prime)
\right)
\end{align*}
ここで、$k^\prime$の積分を実行すると、デルタ関数の中身が0になるときの項が残ります。$\omega_{-k}$$=\omega_k$なので、
\begin{align*}
\hat{H}&=
\dfrac{mc^2}{2}\int d^3k \sum_{s=\pm}\sum_{s^\prime=\pm}
\left(
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k,s^\prime}u^\dagger_{k,s}u_{k,s^\prime}
-
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{d}^\dagger_{-k,s^\prime}u^\dagger_{k,s}v_{-k,s^\prime}
+
\hat{d}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{-k,s^\prime}v^\dagger_{k,s}u_{-k,s^\prime}
-
\hat{d}_{k,s}\hat{d}^\dagger_{k,s^\prime}v^\dagger_{k,s}v_{k,s^\prime}
\right)
\end{align*}
ここで、被積分関数内第二項、第三項が0となるようにスピノルを
\begin{align*}
u^\dagger_{k,s}v_{-k,s^\prime}=v^\dagger_{k,s}u_{-k,s^\prime}=0
\end{align*}
を満たすように解を選んでおくと、
\begin{align*}
\hat{H}&=
\dfrac{mc^2}{2}\int d^3k \sum_{s=\pm}\sum_{s^\prime=\pm}
\left(
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k,s^\prime}u^\dagger_{k,s}u_{k,s^\prime}
-
\hat{d}_{k,s}\hat{d}^\dagger_{k,s^\prime}v^\dagger_{k,s}v_{k,s^\prime}
\right)
\end{align*}
さらに、最初に示していたスピノル、演算子の関係式
\begin{align*}
u^{\dagger a}_{k,s}u^b_{k,s^\prime}&=\dfrac{\hbar\omega_k}{2mc^2}\delta^{ab}\delta_{ss^\prime} \\
v^{\dagger a}_{k,s}v^b_{k,s^\prime}&=\dfrac{\hbar\omega_k}{2mc^2}\delta^{ab}\delta_{ss^\prime} \\
\left\{\hat{c}_{k,s},\hat{c}_{k^\prime,s}\right\}&=\delta^{(3)}(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^\prime) \\
\left\{\hat{d}_{k,s},\hat{d}_{k^\prime,s}\right\}&=\delta^{(3)}(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^\prime)
\end{align*}
の1,2,4番目の式を使います。まず、一つ目、二つ目の式について、あくまで、スピノル1成分に対する計算です。ハミルトニアンに登場しているのはスピノルどうしの演算で、以下の様に処理できます。
\begin{align*}
u^{\dagger}_{k,s}u_{k,s^\prime}
&= \sum_{a=0}^3 u^{\dagger a}_{k,s}u^a_{k,s^\prime} \\
&=\sum_{a=0}^3 \dfrac{\hbar\omega_k}{2mc^2}\delta^{aa}\delta_{ss^\prime} \\
&=\dfrac{2\hbar\omega_k}{mc^2}\delta_{ss^\prime}
\end{align*}
となります。$v$も同様で、
\begin{align*}
\hat{H}&=
\dfrac{mc^2}{2}\int d^3k \sum_{s=\pm}\sum_{s^\prime=\pm}
\left(
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k,s^\prime}\dfrac{2\hbar\omega_k}{mc^2}\delta_{ss^\prime}
-
\hat{d}_{k,s}\hat{d}^\dagger_{k,s^\prime}\dfrac{2\hbar\omega_k}{mc^2}\delta_{ss^\prime}
\right) \\
&=\int d^3k \sum_{s=\pm}\sum_{s^\prime=\pm}
\hbar\omega_k
\left(
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k,s^\prime}\delta_{ss^\prime}
-
\hat{d}_{k,s}\hat{d}^\dagger_{k,s^\prime}\delta_{ss^\prime}
\right) \\
&=\int d^3k \sum_{s=\pm}
\hbar\omega_k
\left(
\hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k,s}
-
\hat{d}_{k,s}\hat{d}^\dagger_{k,s}
\right)
\end{align*}
正規順序積を導入する
被積分関数第二項について、消滅演算子、生成演算子、の順で並んでいます。粒子の個数を固有値にもつ演算子などは、生成演算子、消滅演算子、の順で並んでいるはずです。このように、先に消滅演算子が来たほうが、好ましいです。たとえば、真空に作用させるとき、先に消滅演算子を作用させるほうが、すぐに0になるとわかって楽です。よって、すべての演算子について先に消滅演算子を作用させるようにしましょう。これを正規順序積といいます。反交換関係をもちいて書き換えると、
\begin{align*}
\hat{H}=\int d^3k \sum_{s=\pm}\hbar\omega_k\left( \hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k,s}
+
\hat{d}^\dagger_{k,s}\hat{d}_{k,s}-\delta^{(3)}(\boldsymbol{0})\right)
\end{align*}
さて、Klein-Gordon場と同様に、この最後の無限大の項は、「くりこみ」を考えて、消すことにします。
\begin{align*}
\hat{H}=\int d^3k \sum_{s=\pm}\hbar\omega_k\left( \hat{c}^\dagger_{k,s}\hat{c}_{k,s}
+
\hat{d}^\dagger_{k,s}\hat{d}_{k,s}\right)
\end{align*}