場の量子論⑦ 電磁場の量子化
真空の電磁場で量子化を試みる
前々回の記事をもとに電磁場に関しても量子化を行います。といいたいところだけどうまくいかないみたい...?ラグランジアン密度の表式
前々回導いたベクトル場のラグランジアン密度について、真空を仮定すると$j^\mu$$=0$,$\mu$$=\mu_0$となり、以下のようになるのでした。\begin{align*}
\mathcal{L}&=-\dfrac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
\end{align*}
ここで、場$A^\mu$の共役運動量は前回の記事と同様の計算で、
\begin{align*}
\hat{\pi}_\mu&=-\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{A}^\mu} \\
&=-\dfrac{1}{c\mu_0}\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0 A^\alpha)} \\
&=\dfrac{1}{c\mu_0}\eta_{\mu\rho}F^{0\rho}
\end{align*}
ここで、$\mu=0$とすれば恒等的に$\hat{\pi}^0=0$となり、意味を成しません。そこで、何か対処を考えましょう。
ラグランジアン密度を変更する
ラグランジアンを以下のようにしてみます。\begin{align*}
\mathcal{L}=-\dfrac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\dfrac{1}{2\mu_0}(\partial_\mu A^\mu)^2
\end{align*}
前回の記事ではローレンツゲージ$\partial_\mu A^\mu$$=0$を課していました。つまり、ローレンツゲージの下ではこのラグランジアンは元の式と等しくなるでしょう。
$(\partial_\mu A^\mu)$の1次にすると、場の共役運動量に定数しか出てこないので2次にしてあります。
この式から改めて場の共役運動量を計算してみます。まずは時間成分のみ計算します。第一項は先ほど計算した式で、$F^{\mu}$が反対称($F^{\mu\nu}$$=-F^{\nu\mu}$)を用いれば時間成分は0になります。
\begin{align*}
\pi_0
&=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\dot{A}^0)} \\
&=\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_0A^0)} \\
&=-\dfrac{1}{c\mu_0}\eta_{0\rho}F^{0\rho}-\dfrac{1}{c\mu_0}\partial_\mu A^\mu \\
&=-\dfrac{1}{c\mu_0}\partial_\mu A^\mu
\end{align*}
また、空間成分$\mu\ne0$については、
\begin{align*}
\pi_i
&=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\dot{A}^i)} \\
&=\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_0A^i)} \\
&=-\dfrac{1}{c\mu_0}\eta_{i\rho}F^{0\rho}
\end{align*}
となります。でも、結構式が汚い...ちょっとしたテクニックできれいにしましょう。
ラグランジアンの変換
ラグランジアンに課されている条件ってラグランジアン自体が不変なのではなく、作用積分が変わらなければ問題ないんですよね。ちなみに、ラグランジアン$\mathcal{L}$は、$F^{\mu\nu}$を使わずに、$A^\mu$を用いて書けば、\begin{align*}
\mathcal{L}
&=-\dfrac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\dfrac{1}{2\mu_0}(\partial_\mu A^\mu)^2 \\
&=-\dfrac{1}{4\mu_0}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)-\dfrac{1}{2\mu_0}(\partial_\mu A^\mu)(\partial_\nu A^\nu) \\
&=-\dfrac{1}{2\mu_0}\left(\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu -\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu+\partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu\right)
\end{align*}
このラグランジアン密度の作用積分を考えるわけですが、カッコ内第二項について、部分積分を施すと、
\begin{align*}
\int d^4x \partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu
&=\left. A_\nu \partial^\nu A^\mu\right|-\int d^4x A_\nu \partial_\mu \partial^\nu A^\mu \\
&=\left. A_\nu \partial^\nu A^\mu\right|-\left. \partial^\nu A_\nu \partial_\mu A^\mu\right|+\int d^4x \partial^\nu A_\nu \partial_\mu A^\mu \\
&=\left. A_\nu \partial^\nu A^\mu\right|-\left. \partial^\nu A_\nu \partial_\mu A^\mu\right|+\int d^4x \partial_\nu A^\nu \partial_\mu A^\mu \\
&=\left. A_\nu \partial^\nu A^\mu\right|-\left. \partial^\nu A_\nu \partial_\mu A^\mu\right|+\int d^4x \partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu
\end{align*}
ここで、積分範囲は全空間、つまり、空間の無限のかなたですが。その点では場の変化は0でしょう。よって、それらの項は切り捨てられて。
\begin{align*}
\int d^4x \partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu =\int d^4x \partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu \\
\end{align*}
とできます。つまり、ラグランジアンは、以下のように書き換えられます。
\begin{align*}
\mathcal{L}
&=-\dfrac{1}{2\mu_0}\left(\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu -\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu+\partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu\right) \\
&=-\dfrac{1}{2\mu_0}\left(\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu -\partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu+\partial_\mu A^\mu \partial_\nu A^\nu\right) \\
&=-\dfrac{1}{2\mu_0}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu
\end{align*}
このラグランジアン密度を用いて、共役運動量を計算すると、
\begin{align*}
\pi_\mu
&=\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{A}^\mu} \\
&=\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_0 A^\mu)} \\
&=-\dfrac{1}{\mu_0}\partial^0A_\mu \\
&=-\dfrac{1}{\mu_0}\dot{A}_\mu
\end{align*}