微分積分⑭ ラグランジュの未定乗数法
ラグランジュの未定乗数法の計算
ラグランジュの未定乗数法って極値を求めるのに便利で、たとえば、物理では統計力学で頻繁に使います。ただ、この方法はあくまで極値の候補を求めるだけで、それが実際に極値かどうかは各点で判定する必要があります。ラグランジュの未定乗数法の内容
ラグランジュの未定乗数法
条件$g(x,y)=0$の下で、関数$f(x,y)$の極値の候補は新たな関数
\begin{align*}
L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)
\end{align*}
を設定し、
\begin{align*}
\dfrac{\partial L}{\partial x}=\dfrac{\partial L}{\partial y}=\dfrac{\partial L}{\partial \lambda}=0
\end{align*}
を満たす点となります。
ラグランジュの未定乗数法の計算例題
未定乗数法を用いて極値候補を出す
以下の関数\begin{align*}
g(x,y)=2x+y-5
\end{align*}
に対しての$g(x,y)$$=0$の束縛条件のもとで
\begin{align*}
f(x,y)=x^2+y^2
\end{align*}
の極小極大を求めましょう。新しく以下の関数を設定します。
\begin{align*}
L(x,y,\lambda)
&=f(x,y)-\lambda g(x,y) \\
&=x^2+y^2+\lambda(2x+y-5)
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{\partial L}{\partial x}&=2x+2\lambda=2(x+\lambda)=0 \\
\dfrac{\partial L}{\partial y}&=2y+\lambda =0 \\
\dfrac{\partial L}{\partial \lambda}&=2x+y-5=0
\end{align*}
これは3元の連立方程式となります。解いてみると、
\begin{align*}
x&=2 \\
y&=1 \\
\lambda&=-2
\end{align*}
極値の候補としては、$(2,1)$が得られます。ただ、この極値の候補は極大なのか、極小なのかわからないので、ここからヘッセ行列をもちいてこの判定を行います。(参考:ヘッセ行列)
今考えている関数のヘッセ行列は、
\begin{align*}
H&=\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
となり、固有値が1のみなので、正定値行列だとわかります。よって、この点は極小です。
別の方法で確認
\begin{align*}
2x+y-5&=0
\end{align*}
のもとで、
\begin{align*}
f(x,y)=x^2+y^2
\end{align*}
の極値を求めました。これは片方の文字を消去すれば1変数関数に帰着できるので、$y$を消去すると、
\begin{align*}
f(x,y)=x^2+(-2x+5)^2=5x^2-20x+25=5(x-2)^2+5
\end{align*}
よって、$x$$=2$で最小値を取ります。