線形代数③ 逆行列(掃き出し法と正則行列の定義)
掃き出し法による逆行列の計算
逆行列とはなにか？正則行列とはなにか？を定義してのちに逆行列を掃き出し法により求めます。逆行列と正則行列の定義
逆行列と正則行列
$n$次正方行列($n\times n$の行列)$A$と$n$次の単位行列$E_n$について、
\begin{align*}
AB=BA=E_n
\end{align*}
となる行列$B$を逆行列といい、$A^{-1}$とかきます。逆行列が存在する行列ような行列を正則行列といいます。
掃き出し法とは
掃き出し法による逆行列の計算
掃き出し法
$n$次正則行列$A$と$n$次単位行列$E_n$について、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
A & E_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
を簡約化すると、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
E_n & A^{-1}
\end{pmatrix}
\end{align*}
が得られます。
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
-1 & 0 & -1\\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
前回簡約化を行った行列$A$の逆行列を掃き出し法によって求めましょう。以下のように右側に単位行列を加えた行列を簡約化します。(参考:行列の簡約化)
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
2行目を1行目にたして、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
2行目を3行目に足して、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
ここで、3行目を1行目に、1行目を2行目に、2行目を3行目にして、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
1行目を3行目にたすと、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
3行目を-1倍して、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\end{align*}
これで簡約化できました。ここで、左半分は3次の単位行列$E_3$となっています。そして、右半分は、欲しかった逆行列$A^{-1}$になっています。つまり、
\begin{align*}
A^{-1}=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0\\
0 & -2 & -1
\end{pmatrix}
\end{align*}
逆行列であることの確認
\begin{align*}AA^{-1}&=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & -1 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0\\
0 & -2 & -1
\end{pmatrix} \\ &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります。また、$A^{-1}A$も同じ結果になります。