線形代数⑥ 行列式の定義・性質とサラスの公式
行列式の定義と計算方法
※行列式の両端の線がうまく表示できない端末があるようです。行列式の定義
行列式の計算方法
$n$次正方行列$A=[a_{ij}]$についての行列式を$\det{A}$、または、具体的な成分を明示して、
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\end{align*}
と表します。この計算は、全単射となる置換の集合$S$として、
\begin{align*}
\det{A}=\sum_{\sigma\in S}\text{sgn}{(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}
\end{align*}
とします。
サラスの公式による計算例
2行2列の場合、置換として考えられるのは、$\sigma(1)=1$,$\sigma(2)=2$の場合(置換の符号は正)、または、$\sigma(1)=2$,$\sigma(2)=1$の場合(置換の符号は負)の2通りに限られます。よって、\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{align*}
これが右斜め下向きに項をかけ合わせたものから左斜め下向きに項を掛け合わせたものをひいた定義になるので、特にサラスの方法といいます。3行3列の場合についても似たような方法で計算可能であり、これを合わせてサラスの方法といいます。
4以上については、この方法で計算することはできません。
行列式の性質
行列式の性質行列式の性質
\begin{align}
\det{A}&=\det{{}^t A} \label{eq:1} \\
\nonumber \\
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
a_{31} & a_{22} & \cdots & a_{3n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} \label{eq:2}\\
\nonumber \\
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
ca_{i1} & ca_{i2} & \cdots & ca_{in} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
&=
c\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} \label{eq:3} \\
\nonumber \\
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2} & \cdots & a_{in}+b_{in} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} \label{eq:4} \\
\nonumber \\
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
&=
-
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} \label{eq:5}
\end{align}
\eqref{eq:1}:転置行列の行列式は元の行列の行列式と等しい。
\eqref{eq:2}:第一列の1行目以外の成分が0なら2～$n$の行列式に$a_{11}$をかけたものになる。
\eqref{eq:3}:行列式のひとつの行の実数倍($c$$\ne 0$)は全体の実数倍に変えられる。
\eqref{eq:4}:ある行の和は分けられる。
\eqref{eq:5}:行を入れ替えると符号が入れ替わる。
\eqref{eq:5}を用いると、全く同じ行が二つあれば、その行列式は0になることがわかります。