線形代数⑧ クラーメルの公式
クラーメルの公式とは？
連立方程式の解を求めたいときに、掃き出し法だとどうしても計算が煩雑になることがあります。そこで、クラーメルの公式という別の方法を紹介します。※行列式がうまく表示できない端末があるようです。
クラーメルの公式の内容
クラーメルの公式
\begin{align*}
A&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{b}&={}^t
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 & \cdots & b_n
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{x}&={}^t
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & \cdots & x_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
に対する連立方程式
\begin{align*}
A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}
\end{align*}
の解の$i$番目の成分は、
\begin{align*}
x_i=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
\end{align*}
クラーメルの公式の証明
まずは連立方程式の辺々に$A^{-1}$をかけて、さらにこれを余因子行列で表します。\begin{align*}
\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}=\dfrac{1}{\det{A}}\tilde{A}\boldsymbol{b}
\end{align*}
さて、余因子行列は、
\begin{align*}
\tilde{A}={}^t [\tilde{a}_{ij}]={}^t[(-1)^{i+j}\det{A_{ij}}]
\end{align*}
つまり、$\tilde{A}$の$i$行$j$列成分が、$(-1)^{i+j}\det{A_{ji}}$ということです。よって、$\boldsymbol{x}$の$i$番目の成分$x_i$は、
\begin{align*}
x_i=\dfrac{1}{\det{A}}\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j} b_j(\det{A_{ji}})
\end{align*}
となります。ここで、行列$A$$=[a_{ji}]$(文字をそろえるため$j$を行としました)の第$i$列に関する余因子展開は、
\begin{align*}
\det{A}=\sum_{j=1}^n (-1)^{j+i}a_{ji}\det{A_{ji}}
\end{align*}
と表されたことを思い出しましょう。見比べると$x_i$は$A$の$j$行$i$列成分($j=1,2,$$\cdots,n$)を$a_{ji}$から、$b_j$に変更した行列の行列式の値になります。
\begin{align*}
x_i=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
\end{align*}
これでクラーメルの公式の証明は完了です。