統計③ ベイズの定理
ベイズの定理の証明とは?
ここではベイズの定理の証明を行います。ベイズの定理の内容
ベイズの定理
事象$A$が起こる確率を$P(A)$のように、事象$A$が起こったときに事象$B$が起こる条件付き確率を$P(B|A)$あらわします。このとき、
\begin{align*}
P(A|B)=\dfrac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
\end{align*}
という式が成り立ちます。
条件付き確率とは?
条件付き確率
事象$A$が起こったときに、事象$B$が起こる条件付き確率$P(B|A)$は、
\begin{align*}
P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}
\end{align*}
と計算できます。
ベイズの定理の導出
先ほど紹介した事象$A$が起こったときに事象$B$が起こる条件付き確率の式を以下のように変形しておきます。\begin{align}
P(A\cap B)=P(A)P(B|A) \label{eq:1}
\end{align}
また、同様に、事象$B$が起こった時に事象$A$が起こる条件付き確率は、
\begin{align*}
P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}
\end{align*}
となります。これも先ほどと同様に分母を払えば、
\begin{align}
P(A\cap B)=P(A|B)P(B) \label{eq:2}
\end{align}
ここで、\eqref{eq:1},\eqref{eq:2}を考えると、
\begin{align*}
P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
\end{align*}
となります。これを変形すると、
\begin{align*}
P(A|B)=\dfrac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
\end{align*}
となり、ベイズの定理が導かれます。