ベクトル解析③ ベクトル三重積
ベクトル三重積の公式の証明
特殊な性質があるので、ベクトル三重積というものを紹介します。 以下のベクトルを用いて証明を進めます。\begin{align*}
\boldsymbol{a}&=\begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix}\\
\boldsymbol{b}&=\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} \\
\boldsymbol{c}&=\begin{pmatrix} c_x \\ c_y \\ c_z \end{pmatrix}
\end{align*}
ベクトル三重積とは?
ベクトル三重積の定義
ベクトル三重積
以下の式をベクトル三重積といいます。
\begin{align}
\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}) \label{eq:1}
\end{align}
ベクトル三重積の成分表示
この後の証明で使うので、具体的な成分を表示しておきます。後で紹介する証明は基本的には成分ごとにばらすしか方法がありません。\begin{align}
\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})
&=
\boldsymbol{a}\times
\begin{pmatrix}
b_yc_z-b_zc_y \\
b_zc_x-b_xc_z \\
b_xc_y-b_yc_x
\end{pmatrix} \nonumber \\
&=
\begin{pmatrix}
a_y(b_xc_y-b_yc_x)-a_z(b_zc_x-b_xc_z) \\
a_z(b_yc_z-b_zc_y)-a_x(b_xc_y-b_yc_x) \\
a_x(b_zc_x-b_xc_z)-a_y(b_yc_z-b_zc_y)
\end{pmatrix} \label{eq:2}
\end{align}
ベクトル三重積の公式
ベクトル三重積について成り立っている公式をまとめて紹介します。ベクトル三重積の公式
\begin{align}
\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{c} \label{eq:3}\\
\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})
+
\boldsymbol{b}\times(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})
+
\boldsymbol{c}\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})
=\boldsymbol{0} \label{eq:4}
\end{align}
ベクトル三重積の公式の証明
まず、\eqref{eq:3}を示します。\eqref{eq:2}を変形しますが、\begin{align}
\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})
&=
\begin{pmatrix}
a_y(b_xc_y-b_yc_x)-a_z(b_zc_x-b_xc_z) \\
a_z(b_yc_z-b_zc_y)-a_x(b_xc_y-b_yc_x) \\
a_x(b_zc_x-b_xc_z)-a_y(b_yc_z-b_zc_y)
\end{pmatrix} \tag{\ref{eq:2}} \\
&=
\begin{pmatrix}
(a_yc_y+a_zc_z)b_x-(a_yb_y+a_zb_z)c_x \\
(a_zc_z+a_xc_x)b_y-(a_xb_x+a_zb_z)c_y\\
(a_xc_x+a_yc_y)b_z-(a_xb_x+a_yb_y)c_z
\end{pmatrix} \nonumber \\
&=
\begin{pmatrix}
(a_yc_y+a_zc_z)b_x-(a_yb_y+a_zb_z)c_x +a_xb_xc_x-a_xb_xc_x \\
(a_zc_z+a_xc_x)b_y-(a_xb_x+a_zb_z)c_y +a_yb_yc_y-a_yb_yc_y \\
(a_xc_x+a_yc_y)b_z-(a_xb_x+a_yb_y)c_z +a_zb_zc_z-a_zb_zc_z
\end{pmatrix} \nonumber \\
&=
\begin{pmatrix}
(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)b_x-(a_xc_x+a_yb_y+a_zb_z)c_x \\
(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)b_y-(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)c_y\\
(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)b_z-(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)c_z
\end{pmatrix} \nonumber \\
&=
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}
\end{align}
これで\eqref{eq:3}は証明完了です。次に、\eqref{eq:4}を証明します。これも成分表示から証明するのが確実ですが、せっかくなので\eqref{eq:3}を利用して証明しましょう。
\begin{align*}
\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})
&=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{c} \\
\boldsymbol{b}\times(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})
&=(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a})\boldsymbol{c}-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{c}\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})
&=(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})\boldsymbol{b}
\end{align*}
ここで、内積が可換であること$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}$$=\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{x}$を利用して、右辺にある内積をアルファベット順にそろえると、
\begin{align*}
\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})
&=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{c} \\
\boldsymbol{b}\times(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})
&=(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{c}\times(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})
&=(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}
\end{align*}
この辺々をすべて足し合わせれば、右辺は零ベクトルになります。