ベクトル解析⑤ ナブラ・ラプラス演算子とは?
ナブラ・ラプラス演算子とは?
3次元の解析を扱うときに、しょっちゅう使うナブラについて使い方を紹介します。ナブラとは?
まずはナブラを定義します。ナブラ
以下で定義される$\nabla$をナブラといいます。
\begin{align*}
\nabla\stackrel{def}{=}{}^t\begin{pmatrix}\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}
\end{align*}
ただし、${}^t$は転置を表します。
ナブラの具体的な計算例題
ナブラは先ほど紹介したようにベクトルとして扱います。たとえば、スカラー値関数$f$に対して、\begin{align*}
\nabla f
={}^t
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f}{\partial x} &
\dfrac{\partial f}{\partial y} &
\dfrac{\partial f}{\partial z}
\end{pmatrix}
\end{align*}
のようにあらわされます。また、ベクトル値関数$\boldsymbol{v}$に対しては、内積のような形で計算され、
\begin{align*}
\nabla\cdot \boldsymbol{v}=\dfrac{\partial v_x}{\partial x}+\dfrac{\partial v_y}{\partial y}+\dfrac{\partial v_z}{\partial z}
\end{align*}
というようにあらわされます。
ナブラの二乗?ラプラス演算子
ラプラス演算子(ラプラシアン)は以下の様に定義されます。ラプラス演算子
以下で定義される$\nabla$をラプラス演算子(ラプラシアン)といいます。
\begin{align*}
\Delta^2\stackrel{def}{=}\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+ \dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}
\end{align*}