ベクトル解析⑤補足: 球座標のラプラシアン
球座標のラプラシアン
ラプラシアン、またはラプラス演算子とは微分方程式を解いているとたびたび出てくるのでここに計算を置いておきます。(参考:ナブラ・ラプラス演算子とは?)球座標のラプラシアンの表式
球座標のラプラシアン
\begin{align*}
\nabla^2&=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\nonumber \\
&=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial}{\partial r}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2}
\end{align*}
球座標のラプラシアンの導出
球座標と直交座標の関係は以下のように表されたのでした。\begin{align*}
x &= r\sin{\theta}\cos{\phi}\\
y &= r\sin{\theta}\sin{\phi}\\
z &= r\cos{\theta}
\end{align*}
これを逆に$ r,\phi,\theta $を$ x,y,z $で表すと、
\begin{align*}
r &= \sqrt{x^2+y^2+z^2}\\
\phi &= \tan^{-1}{\dfrac{y}{x}}\\
\theta &= \tan^{-1}{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}
\end{align*}
ここで、偏微分について、chain ruleより、
\begin{align*}
\dfrac{\partial}{\partial x}&=\dfrac{\partial r}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\partial \theta}{\partial x}\dfrac{\partial }{\partial \theta}+\dfrac{\partial \phi}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial \phi}\nonumber \\
&=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\dfrac{x}{z\sqrt{x^2+y^2}}}{\dfrac{x^2+y^2}{z^2}+1}\dfrac{\partial}{\partial \theta}+\dfrac{-\dfrac{y}{x^2}}{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2+1}\dfrac{\partial}{\partial \phi}\nonumber\\
&=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\dfrac{xz}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2+z^2}\dfrac{\partial }{\partial \theta}-\dfrac{y}{x^2+y^2}\dfrac{\partial}{\partial \phi}\nonumber \\
\end{align*}
ここで、
\begin{align*}
\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}{x}=\dfrac{1}{x^2+1}
\end{align*}
を利用しました。ここで、ここまで出てきた式をフル動員してこの係数を$ x,y,z $から、$ r,\phi, \theta $の式に変換します。$\sqrt{x^2+y^2}=r\sin{\theta}$も利用して、
\begin{align*}
\dfrac{\partial}{\partial x}
&=\dfrac{r\sin{\theta}\cos{\phi}}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\dfrac{r^2\sin^2{\theta}\cos{\phi}\cos{\theta}}{r\sin{\theta}}}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial \theta}-\dfrac{r\sin{\theta}\sin{\phi}}{r^2\sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial \phi}\nonumber \\
&=\sin{\theta}\cos{\phi}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\cos{\theta}\cos{\phi}}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta}-\dfrac{\sin{\phi}}{r\sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial \phi}\nonumber
\end{align*}
これを$ x,y,z $についても同様に計算すると、
\begin{align*}
\dfrac{\partial}{\partial x}&=\sin{\theta}\cos{\phi}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\cos{\theta}\cos{\phi}}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta}-\dfrac{\sin{\phi}}{r\sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial \phi}\\
\dfrac{\partial}{\partial y}&=\sin{\theta}\sin{\phi}\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\cos{\theta}\sin{\phi}}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta}+\dfrac{\cos{\theta}}{r\sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial \phi}\\
\dfrac{\partial}{\partial z}&=\cos{\theta}\dfrac{\partial}{\partial r}-\dfrac{\sin{\theta}}{r}\dfrac{\partial}{\partial \phi}
\end{align*}
ラプラス演算子は、
\begin{align*}
\nabla^2&=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\nonumber \\
&=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial}{\partial r}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin{\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2}
\end{align*}
となります。