微分積分⑩ 連鎖律(chain rule)
合成関数の微分や連鎖律
常微分では合成関数の微分を考えることができました。これを多変数関数に拡張したものを連鎖律(chain rule)といいます。合成関数の微分と連鎖律の公式
合成関数の微分
\begin{align}
\dfrac{df}{dt}=\dfrac{df(x(t))}{dx(t)}\dfrac{dx(t)}{dt} \label{eq:1}
\end{align}
2変数の場合の連鎖律
\begin{align}
\dfrac{df(x,y)}{dt}=\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x(t)}\dfrac{dx(t)}{dt}+\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y(t)}\dfrac{dy(t)}{dt} \label{eq:2}
\end{align}
\begin{align}
\dfrac{dw}{dt}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}
\end{align}
合成関数の微分公式
合成関数の微分公式の証明・導出
\begin{align*}
\dfrac{df(x(t))}{dt}=\dfrac{dx}{dt}\dfrac{df}{dx}
\end{align*}
を証明します。左辺から定義に従って右辺になることを示せばOKです。
\begin{align*}
\dfrac{df(x(t))}{dt}&=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x(t+h))-f(x(t))}{h} \\
&=\lim_{h\to 0}\dfrac{x(t+h)-x(t)}{h}\dfrac{f(x(t+h))-f(x(t))}{x(t+h)-x(t)} \\
&=\dfrac{dx}{dt}\dfrac{df}{dt}
\end{align*}
合成関数の微分公式を用いた例題
\begin{align*}
f(x)&=x^2\\
x(t)&=3t+1
\end{align*}
の場合を考えましょう。
\begin{align}
\dfrac{df(x)}{dt}
&=\dfrac{df(x)}{dx(t)}\dfrac{dx(t)}{dt}\nonumber\\
&=2x\times 3\nonumber \\
&=6x\nonumber \\
&=6(3t+1)\nonumber \\
&=18t+6 \label{eq:result1}
\end{align}
となります。愚直に$f(x(t))$に具体的な$x(t)$の式を代入すれば、
\begin{align}
f(x(t))
&=(3t+1)^2\nonumber \\
&=9t^2+6t+1
\end{align}
ですから、確かにこの式を$t$で微分すると、
\begin{align}
\dfrac{df}{dt}=18t+6
\end{align}
となり、確かに合成関数の微分公式から導いた$\eqref{eq:result1}$式と確かに一致します。
連鎖律の公式
連鎖律の公式の証明・導出
\begin{align*}
\dfrac{df(x(t),y(t))}{dt}=\dfrac{dx(t)}{dt}\dfrac{\partial f(x(t),y(t))}{\partial x}+\dfrac{dy(t)}{dt}\dfrac{\partial f(x(t),y(t))}{\partial t}
\end{align*}
を証明します。左辺から定義に従って右辺になることを示せばOKです。
\begin{align*}
\dfrac{df(x(t),y(t))}{dt}&=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t),y(t))}{h} \\
&=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t),y(t+h))+f(x(t),y(t+h))-f(x(t),y(t))}{h} \\
&=\lim_{h\to 0}\left\{\dfrac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t),y(t+h))}{h}+\dfrac{f(x(t),y(t+h))-f(x(t),y(t))}{h}\right\} \\
&=\lim_{h\to 0}\left\{\dfrac{x(t+h)-x(t)}{h}\dfrac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t),y(t+h))}{x(t+h)-x(t)}+\dfrac{y(t+h)-y(t)}{h}\dfrac{f(x(t),y(t+h))-f(x(t),y(t))}{y(t+h)-y(t)}\right\} \\
&=\dfrac{dx}{dt}\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\dfrac{dy}{dt}\dfrac{\partial f}{\partial y}
\end{align*}
証明にあたって偏微分の定義式を用いました。
(参考:偏微分とは?)
連鎖律の公式を用いた例題
\begin{align*}
f(x(t),y(t))&=x^2+y^2\\ x(t)&=2t+1\\
y(t)&=3t
\end{align*}
これを連鎖律を用いて微分すると、$\eqref{eq:2}$式を用いて、
\begin{align}
\dfrac{df}{dt}
&=\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial x}\dfrac{dx(t)}{dt}+\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}\nonumber \\
&=2x\cdot2+2y\cdot3\nonumber \\
&=4(2t+1)+6(3t)\nonumber \\
&=26t+4 \label{eq:7}
\end{align}
できるだけ、微分結果の文字は微分した文字にそろえたほうが良いと思います。つまり、今回は$t$で微分しているので$t$だけで表すことができればベストです。また、$f$に$x$,$y$の式を愚直に代入すると、
\begin{align}
f(x,y)
&=(2t+1)^2+(3t)^2\nonumber \\
&=4t^2+4t+1+9t^2\nonumber \\
&=13t^2+4t+1
\end{align}
となるので、これを$t$で微分すれば、
\begin{align}
\dfrac{df}{dt}=26t+4
\end{align}
となり、$\eqref{eq:7}$式の結果と一致します。
ちなみに高校数学でも似たような操作を行っていて、
\begin{align}
f(x,y)=x^3+y^2
\end{align}
を$x$で微分することを考えると、連鎖律の式で$x=t$とすればよく、
\begin{align}
\dfrac{df(x,y)}{dx}
&=\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dx}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dx}\nonumber \\
&=\dfrac{\partial f}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial t}\dfrac{dy}{dx}\nonumber \\
&=3x^2+2y\dfrac{dy}{dx}
\end{align}
となります。