力学 強制振動・Q値・共鳴
強制振動と単振動の関係
強制振動とは振動に外力を加えている振動のことです。まず単振動の式を書いてみます。\begin{align}
m\ddot{x}=-m\omega^2 x
\end{align}
ここで、たとえば粘性抵抗がはたらく場合、比例定数を$2k$として、(解きやすくするために係数に2をつけています)
\begin{align}
m\ddot{x}=-m\omega^2 x-2k\dot{x}
\end{align}
となります。さらに外力$f_0 \sin{\omega_1 t}$が加えられるときには、
\begin{align}
m\ddot{x}=-m\omega^2 x-2k\dot{x}+f_0\sin{\omega_1 t}
\end{align}
2階定係数線形常微分方程式を解く
以下のように整理しましょう。単振動に外力・抵抗が加わっている場合
\begin{align}
m\ddot{x}+2k\dot{x}+m\omega^2 x=f_0\sin{\omega_1 t}
\end{align}
\begin{align}
\ddot{x}+\dfrac{2k}{m}\dot{x}+\omega^2 x=\dfrac{f_0}{m}\sin{\omega t} \label{eq:5}
\end{align}
この方程式を解きます。外力項の加わった微分方程式の解は、外力項が0の一般解とこの方程式の特殊解の和をとることで導けます。まずは、外力項を0とした、
\begin{align}
\ddot{x_g}+\dfrac{2k}{m}\dot{x_g}+\omega^2 x_g=0
\end{align}
を解きます。($x_g$は一般解)このとき、特性方程式は、
\begin{align}
\lambda^2+\dfrac{2k}{m}\lambda+\omega^2&=0\\
\lambda &= -\dfrac{k}{m}\pm{\sqrt{\left(\dfrac{k}{m}\right)^2-\omega^2}}
\end{align}
以下、$\omega_0=\dfrac{k}{m}$と表すことにします。解の形は、判別式
$D=\omega^{2}_{0}-\omega^2$の大小によって変わってきます。
過制動・$D \gt 0$のとき
定数$C_1,C_2$を用いて、\begin{align}
x_g=C_1e^{\left(-\omega_0+\sqrt{\omega^2_0-\omega^2}\right)t}+C_2e^{\left(-\omega_0-\sqrt{\omega^2_0-\omega^2}\right)t}
\end{align}
この指数部分$-\omega_0\pm{\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}}$は正負どちらの符号でも負をとるので、ともに減衰します。これを過制動と呼びます。
減衰振動・$D \lt 0$のとき
定数$C_1,C_2$を用いて、\begin{align}
x_g=C_1 e^{\left(-\omega_0+i\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}\right)t}+C_2 e^{\left(-\omega_0-i\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}\right)t}
\end{align}
ここで、オイラーの公式
\begin{align}
e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}
\end{align}
を用いれば、
\begin{align}
x_g
&= e^{-\omega_0t}\left\{C_1e^{i\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}t}+C_2e^{i\sqrt{\omega^2_0-\omega^2}t}\right\} \nonumber\\
&=e^{-\omega_0t}\left\{\left( C_1+C_2\right)\cos{\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}t}+\left(C_1-C_2\right)\sin{\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}t}\right\} \nonumber
\end{align}
ここで、$C_1+C_2,C_1-C_2$はそれぞれ定数であり、これを改めて、$C^\prime_1,C^\prime_2$とおくと、
\begin{align}
x_g=e^{-\omega_0t}\left(C^\prime_1\cos{\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}t}+C^\prime_2\sin{\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}t}\right)
\end{align}
つまり、振幅が減少しながら振動するので、減衰振動とよびます。
臨界振動・$D=0$のとき
定数$C_1,C_2$を用いて、\begin{align}
x_g=C_1te^{-\omega_0t}+C_2e^{-\omega_0 t}
\end{align}
となりこれも振動なしの減衰を示します。
強制振動の特殊解
強制振動の式\eqref{eq:5}を$\omega_0$を用いてもう一度ここに示します。\begin{align}
\ddot{x}+2\omega_0\dot{x}+\omega^2 x=\dfrac{f_0}{m}\sin{\omega_1 t} \label{eq:14}
\end{align}
この特殊解$x_p$を求めます。定数$A,B$を用いて、
\begin{align*}
x_p=A\cos{\omega_1 t}+B\sin{\omega_1 t}
\end{align*}
としてこれを代入して整理すると、左辺は、
\begin{align}
\left(-A\omega_1^2+2B\omega_0\omega_1 +A\omega^2\right)\cos{\omega_1 t}+\left(-B\omega^2_1-2A\omega_0\omega_1+B\omega^2\right)\sin{\omega t} \nonumber\\
=\left\{A\left(\omega^2-\omega^2_1\right)+2B\omega_0\omega_1\right\}\sin{\omega t}+\left\{B\left(\omega^2-\omega^2_1\right)-2A\omega_0\omega_1\right\}\cos{\omega t}\nonumber
\end{align}
これを\eqref{eq:14}式と比較すると、
$$
\left\{
\begin{align}
A\left(\omega^2-\omega^2_1\right)+2B\omega_0\omega_1&=\dfrac{f_0}{m} \label{eq:15}\\
B\left(\omega^2-\omega^2_1\right)-2A\omega_0\omega_1&=0 \label{eq:16}
\end{align}
\right.
$$
\eqref{eq:15},\eqref{eq:16}式から$A,B$を求めると、
$$
\left\{
\begin{align}
A&=\dfrac{f_0(\omega^2-\omega_1^2)}{m\left\{(\omega^2-\omega_1^2)^2+4\omega_0^2\omega_1^2\right\}}\\
B&=\dfrac{2f_0\omega\omega_0}{m\left\{(\omega^2-\omega_1^2)^2+4\omega_0^2\omega_1^2\right\}}
\end{align}
\right.
$$
よって、
\begin{align}
x_p =\dfrac{f_0\left\{(\omega^2-\omega_1^2)\cos{\omega_1 t}+2\omega_0\omega_1\sin{\omega_1 t}\right\}}{m\left\{(\omega^2-\omega_1^2)^2+4\omega_0^2\omega_1^2\right\}}
\end{align}
さらにこれを三角関数の合成によって変形すれば、
\begin{align}
x_p&=\dfrac{f_0}{m\sqrt{\left(\omega^2-\omega_1^2\right)^2+4\omega_0^2\omega_1^2}}\sin{\left(\omega_1 t+\phi\right)}\\
\sin{\phi}&=\dfrac{\omega^2-\omega_1^2}{\sqrt{\left(\omega^2-\omega_1^2\right)^2+4\omega_0^2\omega_1^2}}\\
\cos{\phi}&=\dfrac{2\omega_0\omega_1}{\sqrt{\left(\omega^2-\omega_1^2\right)^2+4\omega_0^2\omega_1^2}}
\end{align}
強制振動の一般解
以上をまとめると、強制振動の一般解は、\begin{align}
x&=x_g+x_p \nonumber\\
&=x_g+\dfrac{f_0}{m\sqrt{\left(\omega^2-\omega_1^2\right)^2+4\omega_0^2\omega_1^2}}\sin{\left(\omega_1 t+\phi\right)}
\end{align}
$$
x_g=
\left\{
\begin{align}
& C_1e^{\left(-\omega_0+\sqrt{\omega^2_0-\omega^2}\right)t}+C_2e^{\left(-\omega_0-\sqrt{\omega^2_0-\omega^2}\right)t} & (D\gt 0) \nonumber\\
& e^{-\omega_0t}\left(C^\prime_1\cos{\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}t}+C^\prime_2\sin{\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}t}\right) & (D\lt 0)\nonumber\\
& C_1te^{-\omega_0t}+C_2e^{-\omega_0 t} & (D=0)\nonumber
\end{align}
\right.$$
ただし、式からも状況からもわかるように一般解の部分は減衰して0に近づきます。よって、$t\to\infty$では特殊解$x_p$の部分のみが残るようになります。
Q値
特殊解の分母について、平方完成すると、\begin{align}
&\dfrac{1}{\sqrt{\left(\omega^2-\omega_1^2\right)^2+4\omega_0^2\omega_1^2}}\nonumber
\\&=\dfrac{1}{\sqrt{\omega_1^4-2\left(\omega^2-2\omega_0^2\right)\omega_1^2+\omega^4}} \label{eq:24}\\
&=
\dfrac{1}{\sqrt{\left\{\omega_1^2-\left(\omega^2-2\omega_0^2\right)\right\}^2-\left(\omega^2-2\omega_0^2\right)^2+\omega^4}}\nonumber\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{\left\{\omega_1^2-\left(\omega^2-2\omega_0^2\right)\right\}^2+4\omega_0^2\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}}\nonumber
\end{align}
そしてこの式が最大となるのは、分母が最小のときで、$\omega\gt \omega_0$のときには、$\omega_1\geq 0$を考慮すると、
\begin{align}
\omega_1=\sqrt{\omega^2-2\omega_0^2}
\end{align}
で最大値
\begin{align}
\dfrac{1}{2\omega_0\sqrt{\omega^2-\omega_0^2}} \label{eq:26}
\end{align}
\eqref{eq:24}式の値が最大値\eqref{eq:26}式の$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$倍になるときを考えると、
\begin{align}
\omega_1^4-2\left(\omega^2-2\omega_0^2\right)\omega_1^2+\omega^4&=8\omega_0^2\left(\omega^2-\omega_0^2\right)
\nonumber\\
\omega_1^4-2\left(\omega^2-2\omega_0^2\right)\omega_1^2+\omega^4-8\omega_0^2\omega^2+8\omega_0^4&=0\nonumber \\
\end{align}
これを解くと、
\begin{align}
\therefore \omega_1^2&=\omega^2-2\omega_0^2\pm{\sqrt{4\omega_0^2\omega^2-4\omega_0^4}}\nonumber\\
&=\omega^2-2\omega_0^2\pm{2\omega_0\sqrt{\omega^2-\omega_0^2}}\nonumber
\end{align}
この正の解を$\omega_{+}$、負の解を$\omega_{-}$とすると、
\begin{align}
\omega_{+}^2-\omega_{-}^2&=4\omega_0\sqrt{\omega^2-\omega_0^2}\nonumber(=(\omega_{+}+\omega_{-})(\omega_{+}-\omega_{-})\nonumber)
\end{align}
ここで、分布の対称性より、$\omega_++\omega_-$は振幅が最大となるときの$\omega_1$の2倍となるので、$\omega_{+}+\omega_{-}=2\sqrt{\omega^2-2\omega_0^2}$
\begin{align}
\omega_{+}-\omega_{-}&=\dfrac{4\omega_0\sqrt{\omega^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\omega^2-2\omega_0^2}}\nonumber \\
&=\dfrac{2\omega_0\sqrt{\omega^2-\omega_0^2}}{\sqrt{\omega^2-2\omega_0^2}} \label{eq:27}
\end{align}
ここで、$Q$値と呼ばれる量を、
\begin{align}
Q&=\dfrac{\omega}{\Delta\omega_1}\nonumber\\
&=\dfrac{\omega}{\omega_{+}-\omega_{-}}\nonumber
\end{align}
と定義すれば、\eqref{eq:27}式より、
\begin{align}
Q&=\dfrac{\omega\sqrt{\omega^2-2\omega_0^2}}{\omega_0\sqrt{\omega^2-\omega_0^2}} \label{eq:28}
\end{align}
となります。\eqref{eq:28}式の具体的な表式は特に重要ではないですが、共鳴曲線の鋭さを表すQ値はいろんな分野で振動の指標に用いられています。