力学 ベルヌーイの定理・連続の方程式
ベルヌーイの定理と連続の方程式
非圧縮で粘性がないという特殊な条件でベルヌーイの定理が導けます．あと，もう一つ問題をとくカギになるのが連続の方程式でこの式も同様の条件下では非常に簡単な式になります．これらを組み合わせて問題を解くことになります．ベルヌーイの定理とは?
ベルヌーイの定理
密度$\rho$、基準面からの高さ$h$、速さ$v$、圧力$p$の流体に関して、非圧縮$\left(\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0\right)$で、かつ粘性がない場合に、
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh+p=\text{一定}
\end{align*}
ベルヌーイの定理の意味
ベルヌーイの定理の式\begin{align*}
\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh+p=\text{一定}
\end{align*}
は一見複雑ですがこの式が成り立つ仕組みは単純に力学的エネルギー保存則です．たとえば，この辺々に液体の体積\(V\)をかけてみましょう．\(m=\rho V\)とすれば，
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}mv^2+mgh+pV=\text{一定}
\end{align*}
となります．(この形の式は普通書きませんが次元の説明のために書いています．)第三項の\(pV\)がエネルギーの次元を持っているのはわかると思います．．．
連続の方程式(連続の式)を簡単な形にする
連続の方程式
\begin{align*}
\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\boldsymbol{v})=0
\end{align*}
狭い入口に多くの人が殺到したら通るのには時間がかかりますが，狭い入口を突破すればスムーズに移動できますよね(?)というイメージです．
ところで，この記事ではいくつか条件を課していたのでした．たとえば，非圧縮性といって\(\rho\)が一定になることです．よって，この密度は時間微分も座標微分も0になります．連続の方程式の左辺は，
\begin{align*}
\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho \boldsymbol{v})&=0+\rho\nabla\cdot \boldsymbol{v}\\
&=\rho\nabla\cdot\boldsymbol{v}\\
\end{align*}
となります．この式が0になるわけですが，\(\rho\ne0\)と考えれば，
\begin{align*}
\nabla\cdot \boldsymbol{v}=0
\end{align*}
となります．この辺々を体積分すると右辺は0のままであり，左辺についてガウスの発散定理を用いれば，
\begin{align*}
\iint_S\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}dS
\end{align*}
となります．この左辺の\(\boldsymbol{n}\)は面\(S\)に垂直な単位ベクトルです．(つまり，法線ベクトル)さて，流体が管に出入りするところ以外では流れと面\(S\)は平行になり，ここの流れは影響しません．つまり，出入りのタイミングだけが重要です．出ていく面を\(S_2\)でその点での速度を\(v_2\),入ってくる面を\(S_1\)でその点での速度を\(v_1\)とすると，
\begin{align*}
v_2S_2-v_1S_1
\end{align*}
となります．これが0に等しいということだったので，
\begin{align*}
v_1S_1=v_2S_2
\end{align*}
となります．つまり，非圧縮流体の条件下で
\begin{align*}
vS=\text{一定}
\end{align*}
という条件も導けます．
連続の方程式とベルヌーイの定理の要点まとめ
覚えておくべきは以下のことです．非圧縮で粘性がない流体に関して,\begin{align*}
\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh+p&=\text{一定 （ベルヌーイの定理）}\\
vS&=\text{一定 （非圧縮の連続の方程式）}
\end{align*}
この2式を連立することで問題を解くことができます．