電磁気学① マクスウェル方程式とローレンツ力の式
微分形のマクスウェル方程式 その意味は?
電磁気学ではMaxwell方程式が基本方程式となっています。Maxwell方程式をどう解くか？ということについて、数学的な方法を交えて説明します。真空中のマクスウェル方程式はどんな形?
真空中のMaxwell方程式
$$\left\{ \begin{align*}
\nabla\cdot \boldsymbol{E}&=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\\
\nabla \cdot \boldsymbol{B}&=0\\
\nabla\times \boldsymbol{E}&=-\dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\\
\nabla \times \boldsymbol{B}&=\mu_0 \boldsymbol{j}+\varepsilon_0 \mu_0\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}
\end{align*}\right.$$
ほかの文字について、$\varepsilon_0$は真空中の誘電率、$\mu_0$は真空中の透磁率、$\boldsymbol{j}$は電流密度(単位面積当たりの電流)、$\rho$は電荷密度(空間の単位体積当たりの電荷)を表しています。
マクスウェル方程式とローレンツ力の式
ローレンツ力の式
電場$\boldsymbol{E}$、磁束密度$\boldsymbol{B}$の点に存在する電荷$q$にはたらく力
\begin{align*}
\boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B})
\end{align*}
僕の考えですが、マクスウェル方程式は個々の電荷に対する力や場を述べているわけではない、つまりどちらかといえばマクロな式なので個々の電荷にはたらく力を表すクーロン力の式とは大きく異なるように感じます。
電束密度、磁場を定義して物質中のマクスウェル方程式をつくる
基本的な物理量である電場$\boldsymbol{E}$と磁束密度$\boldsymbol{B}$からそれぞれ電束密度$\boldsymbol{D}$と磁場$\boldsymbol{H}$を定義します。\begin{align*}
\boldsymbol{D}&=\varepsilon_0 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{P} \\
\boldsymbol{H}&=\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B}-\boldsymbol{M}
\end{align*}
ここで、用いたのが磁化$\boldsymbol{M}$と電気分極$\boldsymbol{P}$ですが、これらの詳細な定義は電気分極に関する記事と磁化に関する記事に任せることにしておきます。
簡単に言うと、電気分極、磁化によって新たに電場もどき、磁束密度もどきが生じるので、それも考慮した物理量、電束密度、磁場を新たに定義する必要があります。
いま、$\boldsymbol{E}$と$\boldsymbol{B}$を基本的な物理量としていたので、これらを用いて新たに$\boldsymbol{D}$と$\boldsymbol{H}$を定義しました。
電場が小さいときには電気分極は電場に比例、磁場が小さいときには磁化は磁場に比例するので、新たに物質中の誘電率$\varepsilon$と透磁率$\mu$を用意して、
\begin{align*}
\boldsymbol{D}&=\varepsilon \boldsymbol{E}\\
\boldsymbol{B}&=\mu \boldsymbol{H}
\end{align*}
という関係があります。
物質中の厳密なマクスウェル方程式
物質中のマクスウェル方程式
$$\left\{ \begin{align*}
\nabla\cdot \boldsymbol{D}&=\rho\\
\nabla \cdot \boldsymbol{B}&=0\\
\nabla\times \boldsymbol{E}&=-\dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\\
\nabla \times \boldsymbol{H}&=\boldsymbol{j}+\dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}
\end{align*}\right.$$
$$\left\{ \begin{align*}
\oint_S \boldsymbol{D\cdot n}dS&=Q\\
\oint_S \boldsymbol{B\cdot n}dS&=0\\
\oint_C\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}&=-\int_S \dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot\boldsymbol{n}dS\\
\oint_C \boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{r}&=I+\int_S\dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\cdot d\boldsymbol{r}
\end{align*}\right.$$
を導出します。まずは数学の話から。
ストークスの定理(Stokes)
面$S$とその面$S$の縁$C$について$$\int_S \nabla\times \boldsymbol{F\cdot n}dS=\oint_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$$
これにより回転を含む式を線積分に変換することができます。
ガウスの発散定理(Gauss)
空間$V$とその$V$を囲む閉曲面$S$について$$\int_V\nabla\cdot \boldsymbol{F}dV=\oint_S \boldsymbol{F\cdot n}dS$$
以下、厳密なマクスウェル方程式に従って導出を行います。ガウスの法則(Gauss)
マクスウェル方程式の1つめの式\begin{align*}
\nabla\cdot \boldsymbol{D}=\rho
\end{align*}
の両辺を体積分して左辺にガウスの発散定理を用いれば、左辺が面積分にかわって
\begin{align*}
\oint_S \boldsymbol{D}\cdot \boldsymbol{n}dS=\int_V \rho\ dV(=Q)
\end{align*}
この式は、電荷が存在すれば電場(電束密度)が発生するということを示しています。
磁場に関するガウスの法則(Gauss)
\begin{align*}
\nabla\cdot \boldsymbol{B}=0
\end{align*}
両辺を体積分して左辺にガウスの発散定理を用いれば、左辺が面積分に変わって、
\begin{align*}
\oint_S \boldsymbol{B}\cdot \boldsymbol{n}dS=0
\end{align*}
が導かれます。この式は、磁場の湧き出しがないこと、つまり単磁荷の存在を否定しています。このことから、磁束線は終端しないこともわかります。
ファラデーの法則(Faraday)
\begin{align*}
\nabla\times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}
\end{align*}
両辺を面積分して左辺にストークスの定理を用いれば、左辺が線積分にかわって、
\begin{align*}
\oint_C \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}=-\int_S \frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot \boldsymbol{n}dS
\end{align*}
が導かれます。右辺についてもうすこし考えてみましょう。
磁束との関係
右辺について、一般に時間微分と面積分を入れ替えることができて、$$-\int_S \dfrac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot\boldsymbol{n}dS=-\dfrac{\partial}{\partial t}\int_S \boldsymbol{B\cdot n}dS$$
がいえます。特に、ここで、
$$\Phi=\int_S \boldsymbol{B\cdot n}dS$$
というのは磁束を表しています。つまり、
$$\oint_C \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}=-\dfrac{\partial \Phi}{\partial t}$$
で、左辺は面$S$を囲む周回路の一周の電位差をあらわしています。これがよく見る電磁誘導の式です。アンペールの法則(Ampère)
アンペールの法則を説明する前に電流密度を紹介します。電流密度の定義
電流密度と電流の関係
$$I=\int_S \boldsymbol{j\cdot n}dS$$
アンペールの法則を導出
\begin{align*}
\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}
\end{align*}
この式の両辺を面積分して左辺にストークスの定理を用います。左辺が線積分にかわって、
\begin{align*}
\oint_S\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{r}=I+\int_S \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\cdot \boldsymbol{n}dS
\end{align*}
となります。特に、時間変化のない電磁場のみを考えることにすると、
$$\dfrac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}=\boldsymbol{0}$$
なので、電流$I$に対して、以下の式が成り立ちます。
$$\oint_C \boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{r}=I$$
これをアンペアの周回積分の法則といいます。ただし、導出からもわかるように電場の時間変化がないことが条件です。
変位電流とは?
先ほど、辺々を面積分した後の式をもう一度見てみましょう。\begin{align*}
\oint_S\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{r}=I+\int_S \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\cdot \boldsymbol{n}dS
\end{align*}
この式の右辺に着目してみます。もし電束密度に時間変化があれば、それは実質電流ということではないでしょうか。というわけで以下のような量が定義されています。
変位電流
\begin{align*}
\int_S \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\cdot \boldsymbol{n}dS
\end{align*}