電磁気学③ 電気双極子
電気双極子で電場と電位を計算する
電気双極子の計算をしてみます．使っているのはクーロンの法則のみなのに近似計算が多くて大変なのでまとめておきます．電気双極子の場面設定
位置$\boldsymbol{r}^\prime$に電荷$q(\gt 0)$，原点に関して点対称な$-\boldsymbol{r}^\prime$に電荷$-q(\lt 0)$を置いてみます．この状況で位置$\boldsymbol{r}$での電位・電場を計算してみましょう．ただし，$|\boldsymbol{r}|\gg |\boldsymbol{r}^\prime|$という条件の下で考えてみます。点電荷が作る電位の式を導出
点電荷$\pm q$が作る電位を求めます。前回のクーロンの法則の導出の記事の中で、Poisson方程式を解いて得られた電位は、空間の電荷密度を$\rho(\boldsymbol{r})$として、\begin{align}
\phi(\boldsymbol{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon} \int_{\text{全空間}} \dfrac{\rho(\boldsymbol{r^{\prime\prime}})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^{\prime\prime}}|}d^3\boldsymbol{r^{\prime\prime}} \label{eq:1}
\end{align}
でした。では、位置$\boldsymbol{r}$での電位$\phi$を計算します．いま、位置$\pm \boldsymbol{r}$に電荷$\pm q$をもつ点電荷があるので、電荷密度はデルタ関数を用いて表現するなら、
\begin{align*}
\rho(\boldsymbol{r^{\prime\prime}})=q\delta(\boldsymbol{r^{\prime\prime}}-\boldsymbol{r^\prime})-q\delta(\boldsymbol{r^{\prime\prime}}+\boldsymbol{r^\prime})
\end{align*}
と表されます。この式を電位の式\eqref{eq:1}に代入すると,
\begin{align}
\phi&=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}+\dfrac{-q}{4\pi\varepsilon |\boldsymbol{r}+\boldsymbol{r}^\prime|} \label{eq:2}
\end{align}
となります。(Maxwell方程式から導出している前回記事の結果を使いたかったのでデルタ関数をつかって無理やり計算しましたが、普通の点電荷が作る電位の重ね合わせだと考えれば大丈夫です。)ここで、ベクトルのままだと扱いにくいので具体的に座標成分に展開してやりましょう．
\begin{align*}
\phi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon}\left\{\dfrac{1}{\sqrt{(x-x^\prime)^2+(y-y^\prime)^2+(z-z^\prime)^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{(x+x^\prime)^2+(y+y^\prime)^2+(z+z^\prime)^2}}\right\}
\end{align*}
ここで，$|\boldsymbol{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\|\boldsymbol{r}^\prime|=\sqrt{(x^\prime)^2+(y^\prime)^2+(z^\prime)^2}$を用いて，
\begin{align*}
\phi
&=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon}\left\{\dfrac{1}{\sqrt{|\boldsymbol{r}|^2+|\boldsymbol{r}^\prime|^2-2(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)}}-\dfrac{1}{\sqrt{|\boldsymbol{r}|^2+|\boldsymbol{r}^\prime|^2+2(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)}}\right\} \nonumber \\
&=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon|\boldsymbol{r}|}\left[\left\{1-\dfrac{2(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)}{|\boldsymbol{r}|^2}+\dfrac{|\boldsymbol{r^\prime}|^2}{|\boldsymbol{r}|^2}\right\}^{-\frac{1}{2}}-\left\{1+\dfrac{2(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)}{|\boldsymbol{r}|^2}+\dfrac{|\boldsymbol{r^\prime}|^2}{|\boldsymbol{r}|^2}\right\}^{-\frac{1}{2}}\right]
\end{align*}
ここで、
\begin{align*}
|xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime|
&=|\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r^\prime}|\\
&\leq |\boldsymbol{r}||\boldsymbol{r^\prime}|
\end{align*}
ゆえに、
\begin{align*}
\dfrac{|xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime|}{|\boldsymbol{r}|^2}&\leq \dfrac{ |\boldsymbol{r}||\boldsymbol{r^\prime}|}
{|\boldsymbol{r}|^2}\\
&=\dfrac{|\boldsymbol{r^\prime}|}{|\boldsymbol{r}|}\ll 1
\end{align*}
よって、
\begin{align}
\dfrac{|xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime|}{|\boldsymbol{r}|^2}\approx \dfrac{|\boldsymbol{r^\prime}|}{|\boldsymbol{r}|} \label{eq:3}
\end{align}
程度の大きさだとがわかります。
電気双極子の仮定を用いる
電気双極子では、$|\boldsymbol{r}|\gg |\boldsymbol{r^\prime}|$という仮定がありました。よって、$\dfrac{|\boldsymbol{r^\prime}|}{|\boldsymbol{r}|}\ll 1$が成り立ちます。よってこの項の2乗は無視します。\begin{align}
\phi\approx
\dfrac{q}{4\pi\varepsilon|\boldsymbol{r}|}\left[\left\{1-\dfrac{2(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)}{|\boldsymbol{r}|^2}\right\}^{-\frac{1}{2}}-\left\{1+\dfrac{2(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)}{|\boldsymbol{r}|^2}\right\}^{-\frac{1}{2}}\right] \label{eq:4}
\end{align}
マクローリン展開で多項式に近似計算する
\begin{align}
f(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}
\end{align}
を近似計算します．マクローリン展開
\begin{align}
f(x)\approx f(0)+\dfrac{f^\prime(0)}{1!}x+\dfrac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots
\end{align}
を1次まで使います．$f^\prime(x)=-\dfrac{1}{2}(x+1)^{-\frac{3}{2}}$なので，$x=0$に近い範囲(近傍)では，
\begin{align}
f(x)\approx 1-\dfrac{1}{2}x
\end{align}
とできます．ちなみに他の数に対しても一般に$|x|\ll 1$のとき、$(1+x)^n\approx 1+nx$とできます．これを利用すれば\eqref{eq:4}式の根号は、\eqref{eq:3}より、
\begin{align}
\left\{1-\dfrac{2(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)}{|\boldsymbol{r}|^2}\right\}^{-\frac{1}{2}}&\approx1+\dfrac{xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime}{|\boldsymbol{r}|^2}\\
\left\{1+\dfrac{2(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)}{|\boldsymbol{r}|^2}\right\}^{-\frac{1}{2}}&\approx1-\dfrac{xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime}{|\boldsymbol{r}|^2}
\end{align}
と展開できます．というわけで改めて\eqref{eq:4}式を書きなおせば，
\begin{align}
\phi&\approx \dfrac{q}{4\pi\varepsilon|\boldsymbol{r}|}\left\{\left(1+\dfrac{xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime}{|\boldsymbol{r}|^2}\right)-\left(1-\dfrac{xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime}{|\boldsymbol{r}|^2}\right)\right\}\nonumber \\
&=\dfrac{q(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)}{2\pi\varepsilon|\boldsymbol{r}|^3}\label{eq:12}
\end{align}
$\boldsymbol{r}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime),\boldsymbol{r}=(x,y,z)$なので
\begin{align}
\phi=\dfrac{q\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r}^\prime}{2\pi\varepsilon|\boldsymbol{r}|^3} \label{eq:13}
\end{align}
とまとめられそうです．これが求めたかった電位というわけです．
電位から電場をもとめる
電位を求めたなら電場も求めたいですね．電位と電場の関係は，\begin{align}
\boldsymbol{E}=-\nabla \phi
\end{align}
です．逆に線積分で電場から電位を求める方法もありますが，線積分は計算が面倒で，電位と電場を直接計算するのでは電位のほうがスカラー量なので簡単に求められます．というわけで今回は電位を先に求めているわけです．
少し脱線しましたが，電場を求めます．ナブラの定義，$\nabla=\left(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\right)^T$から直接求めるには内積で書きなおした\eqref{eq:13}よりも\eqref{eq:12}のほうが楽そうです．というわけで，\eqref{eq:12}を使ることにします． なんとなくどの文字についても対称的な式なので$x$成分だけ計算すればよさそうですね．$x$成分について，
\begin{align}
E_x=-(\nabla \phi)_x=-\dfrac{\partial}{\partial x}\phi
\end{align}
なのですが，\eqref{eq:12}には$x$の式が見た目分母にしかないように見えますが...実は分母のノルムも$x$を含んでいます．というわけで分数関数の微分
\begin{align}
\dfrac{d}{dx}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{{g(x)}^2}
\end{align}
を用います．
\begin{align}
E_x&=-\dfrac{\partial}{\partial x}\left\{\dfrac{q(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)}{2\pi\varepsilon(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\right\}\nonumber \\
&=-\dfrac{qx^\prime\left\{2\pi\varepsilon(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}\right\}-q(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)\left\{2\pi\varepsilon(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{3}{2}\cdot 2x\right\}}{4\pi^2\varepsilon^2(x^2+y^2+z^2)^3}\nonumber\\
&=-\dfrac{2\pi\varepsilon qx^\prime(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}-6\pi\varepsilon qx(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}}{4\pi^2\varepsilon^2(x^2+y^2+z^2)^3}\nonumber \\
&=-\dfrac{q\left\{x^\prime(x^2+y^2+z^2)-3x(xx^\prime+yy^\prime+zz^\prime)\right\}}{2\pi\varepsilon(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}\nonumber \\
&=-\dfrac{qx^\prime}{2\pi\varepsilon|\boldsymbol{r}|^{3}}+\dfrac{3x\boldsymbol{r}^\prime\cdot\boldsymbol{r}}{2\pi\varepsilon |\boldsymbol{r}|^5}
\end{align}
これが$x$成分です．対称性から電場ベクトル全体を考えると，
\begin{align}
\boldsymbol{E}=\dfrac{3\boldsymbol{r}^\prime\cdot\boldsymbol{r}}{2\pi\varepsilon|\boldsymbol{r}|^5}\boldsymbol{r}-\dfrac{q\boldsymbol{r}^\prime}{2\pi\varepsilon|\boldsymbol{r}|^{{3}} } \label{eq:16}
\end{align}
こんな感じでしょうか．実はまだ少し式をいじる要素があるので、以下で説明します。
電気双極子モーメントとは?電場・トルクとの関係
電気双極子モーメントというものを定義します．電気双極子モーメント
負電荷$-q$から正電荷$q$に向かう位置ベクトルを$\boldsymbol{\delta}$として，電気双極子モーメント$\boldsymbol{p}$を
\begin{align}
\boldsymbol{p}\stackrel{def}{=} q\boldsymbol{\delta}
\end{align}
と定義します。つまり、電気双極子モーメントの次元は電荷×長さになります。
\begin{align}
\boldsymbol{\delta}=\boldsymbol{r^\prime}-(-\boldsymbol{r^\prime})=2\boldsymbol{r}^\prime
\end{align}
です．先に求めておいた電場\eqref{eq:16}から$\boldsymbol{r^\prime}$を消去して、
\begin{align}
\boldsymbol{E}=\dfrac{3\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}}{4\pi\varepsilon|\boldsymbol{r}|^5}\boldsymbol{r}-\dfrac{\boldsymbol{p}}{4\pi\varepsilon|\boldsymbol{r}|^{{3}} }
\end{align}
と書きなおせます．文献によってはこっちの表現で書いてあるものもあります．
電気双極子に関する公式
電場中にある電気双極子にはたらくトルクは\begin{align}
\boldsymbol{N}=\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{E}
\end{align}
電場中にある電気双極子のポテンシャルエネルギーは、
ちなみに，このように設定しておくと，電場中にある電気双極子にはたらくトルクを
\begin{align}
\boldsymbol{U}=-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}
\end{align}
と表すことができます。