電磁気⑨ ベクトルポテンシャル・スカラーポテンシャル
ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャル
ベクトルポテンシャル$\boldsymbol{A}$とスカラーポテンシャル$\phi$のことをまとめて電磁ポテンシャルといいます。これらの導出をしてみます。マクスウェル方程式を変形する
マクスウェル方程式の形の確認
まずはマクスウェル方程式を思い出しましょう。
$$\left\{ \begin{align}
\nabla\cdot \boldsymbol{D}&=\rho \label{eq-em9:1}\\
\nabla \cdot \boldsymbol{B}&=0\label{eq-em9:2}\\
\nabla\times \boldsymbol{E}&=-\dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \label{eq-em9:3}\\
\nabla \times \boldsymbol{H}&=\boldsymbol{j}+\dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\label{eq-em9:4}
\end{align}\right.$$
ベクトルポテンシャルと磁束密度の関係を定める
この式を変形していきます。まずは、ベクトルポテンシャルを以下の式を満たすように定めます。\begin{align}
\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A} \label{eq-em9:5}
\end{align}
磁束密度の発散が零と確認する
任意のベクトル$\boldsymbol{a}$に対して\begin{align}
\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{a}\right)=0 \label{eq-em9:6}
\end{align}
という恒等式が成り立ちます。つまり、回転の発散をとれば恒等的に0になるということです。この式は各成分ごとにばらして計算すれば簡単に証明できます。 さて、ベクトルポテンシャルの話に戻りますが、\eqref{eq-em9:5}式が成り立つときには、上の恒等式\eqref{eq-em9:6}を用いて、
\begin{align*}
\nabla\cdot\boldsymbol{B}=\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)=0
\end{align*}
となり、\eqref{eq-em9:2}式は恒等的に成り立ちます。
スカラーポテンシャルを導入する
\begin{align}
\nabla\times\boldsymbol{E}=-\dfrac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \tag{\ref{eq-em9:3}}
\end{align}
を満たすことを確認します。ここでは、先ほど置いた磁場の式\eqref{eq-em9:5}式を利用します。微分に関して時間微分と空間微分は順序を入れ替えることができるので、
\begin{align}
\nabla\times \boldsymbol{E}&=-\dfrac{\partial\left(\nabla\times \boldsymbol{A}\right)}{\partial t}\nonumber \\
&=-\nabla\times \left(\dfrac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)\nonumber\\
\therefore \nabla\times\left(\boldsymbol{E}+\dfrac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)&=0 \label{eq-em9:7}
\end{align}
この\eqref{eq-em9:7}式を満たす$\boldsymbol{E}$を考えます。
電場の表式を設定する
天下り的ですが、$\phi$というスカラー量を用いて、\begin{align}
\boldsymbol{E}=-\dfrac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}-\nabla\phi \label{eq-em9:8}
\end{align}
とおくことにします。この\eqref{eq-em9:8}式を\eqref{eq-em9:7}式に代入して、任意のスカラー$b$に対して成り立つ恒等式$\nabla\times \nabla b=0$を用いれば、
\begin{align}
\nabla\times \left(\boldsymbol{E}+\dfrac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)&=
\nabla\times\left(-\nabla\phi\right)\nonumber\\
&=-\nabla\times\nabla\phi\nonumber\\
&=0\nonumber
\end{align}
となり、確かに\eqref{eq-em9:8}式が\eqref{eq-em9:7}式をみたしていることがわかります。ここで用いた$\phi$をスカラーポテンシャルといいます。
静電ポテンシャルの符号が持つ意味
名前の通り、電位と似たようなものなので、それに倣って、\eqref{eq-em9:8}式で$\phi$の前を負にしています。確かに時間変化のない時には$\boldsymbol{E}=-\nabla\phi$という関係が\eqref{eq-em9:8}式からいえます。
磁束密度・電場と電磁ポテンシャルの関係まとめ
ここまでを一旦まとめると、
$$\left\{
\begin{align}
\boldsymbol{B}&=\nabla\times \boldsymbol{A} \tag{\ref{eq-em9:5}}\\
\boldsymbol{E}&=-\dfrac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}-\nabla\phi \tag{\ref{eq-em9:8}}
\end{align}
\right.$$
となっています。これらを残りの2式、\eqref{eq-em9:1},\eqref{eq-em9:4}式に代入してみます。まず、\eqref{eq-em9:1}式に代入してみます。
マクスウェル方程式から導かれる式を探す
電場と磁束密度を\eqref{eq-em9:1}式に代入します。電束密度$\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}$を用いれば、\begin{align}
\nabla\cdot\left(-\dfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}-\nabla\phi\right)&=\dfrac{\rho}{\varepsilon} \nonumber \\
\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot \boldsymbol{A}\right)+\nabla^2\phi&=-\dfrac{\rho}{\varepsilon} \label{eq-em9:10}
\end{align}
とりあえず手の打ちようがないのでここで止めておきます。
もう一つ残っていた式\eqref{eq-em9:4}について、ここでも、$\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}$と$\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$と\eqref{eq-em9:5},\eqref{eq-em9:8}式を利用すると、\eqref{eq-em9:5}式は、
\begin{align}
\nabla\times\left(\nabla\times \boldsymbol{A}\right)=\mu\boldsymbol{j}+\mu\varepsilon\left\{-\dfrac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2}-\nabla\left(\dfrac{\partial\phi}{\partial t}\right)\right\} \label{eq-em9:11}
\end{align}
となります。(ここでも時間微分と空間微分の順序を入れ替えられることを使いました)この左辺はまたまたベクトル解析の公式を用いて
\begin{align}
\nabla\times\left(\nabla\times \boldsymbol{A}\right)=\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)-\nabla^2\boldsymbol{A}
\end{align}
となるので、\eqref{eq-em9:11}式は、符号を逆転させて、整理すると、
\begin{align}
\nabla^2\boldsymbol{A}-\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)&=-\mu\boldsymbol{j}+\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2\boldsymbol{A}}{\partial t^2}+\mu\varepsilon\nabla\left(\dfrac{\partial\phi}{\partial t}\right)\nonumber\\
\therefore \left(\nabla^2-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}-\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}+\mu\varepsilon\dfrac{\partial\phi}{\partial t}\right)&=-\mu\boldsymbol{j}
\label{eq-em9:13}
\end{align}
書き換えられたマクスウェル方程式
ここまで求めた式をまとめると、\begin{align}
\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)+\nabla^2\phi&=-\dfrac{\rho}{\varepsilon} \tag{\ref{eq-em9:10}}\\
\left(\nabla^2-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}-\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}+\mu\varepsilon\dfrac{\partial\phi}{\partial t}\right)&=-\mu\boldsymbol{j}\tag{\ref{eq-em9:13}}
\end{align}
となります。ちょっとこれでは進めようがないので、一旦話を逸らすことにします。
ゲージ変換とは?その目的は?
スカラー値関数$u$を用意します。このとき、\begin{align}
\boldsymbol{A}\to\boldsymbol{A}^\prime=\boldsymbol{A}+\nabla u\\
\phi\to\phi^\prime=\phi-\dfrac{\partial u}{\partial t}
\end{align}
とおきかえても\eqref{eq-em9:3},\eqref{eq-em9:8}式は形が変わりません。この置き換えをゲージ変換といいます。このように、解を求めるには解が一意に定まらないというのがこの方程式の難しさです。ここで、マクスウェル方程式の解が一意に定まるためには何か条件を固定してやる必要があります。これがゲージです。有名なものを二つ挙げておくと、
ローレンツゲージ
\begin{align}
\nabla\cdot\boldsymbol{A}+\mu\varepsilon\dfrac{\partial\phi}{\partial t}=0 \label{eq-em9:16}
\end{align}
クーロンゲージ
\begin{align}
\nabla\cdot \boldsymbol{A}=0
\end{align}
などがあります。今回はローレンツゲージ\eqref{eq-em9:16}を固定条件としてみると、\eqref{eq-em9:10}式から$\nabla\cdot \boldsymbol{A}$を消去でき、\eqref{eq-em9:13}式から2つめの括弧を消すことができて
\begin{align}
\left(\nabla^2-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\phi&=-\dfrac{\rho}{\varepsilon}\label{eq-em9:18}\\
\left(\nabla^2-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}&=-\mu\boldsymbol{j}\label{eq-em9:19}
\end{align}
以上のようにすごく対称的な式が得られました。ただし、\eqref{eq-em9:16}を課していることを忘れないようにしてください。
相対論的な記法のマクスウェル方程式
\eqref{eq-em9:18},\eqref{eq-em9:19}式はともに微分演算子が共通なので、なんだがまとめられそうです。ここで、\eqref{eq-em9:18}式の辺々を光速$c$でわります。誘電率、透磁率との関係\begin{align}
c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \label{eq-em9:20}
\end{align}
を利用すれば、\eqref{eq-em9:18}式の右辺は、
\begin{align}
-\dfrac{\rho}{c\varepsilon}&=-\dfrac{\rho c}{c^2\varepsilon}\nonumber \\&=-\mu\rho c\nonumber
\end{align}
よって、\eqref{eq-em9:18}式は、\eqref{eq-em9:20}式を用いて、
\begin{align}
\left(\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right)\dfrac{\phi}{c}&=\mu\rho c\\
\left(\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right)\boldsymbol{A}&=\mu \boldsymbol{j}
\end{align}
となります。やはり非常に似た形ですね。これを1つにまとめることをかんがえます。
4元電流密度・4元ベクトルポテンシャルを設定する
ここで、ベクトルポテンシャル、電流密度を4次元に拡張します。\begin{align}
A^\mu&=\left(\dfrac{\phi}{c},\boldsymbol{A}\right)\\
j^\mu&=\left(\rho c,\boldsymbol{j}\right)
\end{align}
ここで、
\begin{align*}\partial_{\mu}=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}\\
\dfrac{\partial}{\partial y}\\
\dfrac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix},
\partial^{\mu}=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\\
-\dfrac{\partial}{\partial x}\\
-\dfrac{\partial}{\partial y}\\
-\dfrac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\end{align*}
というように定めれば、アインシュタインの縮約記法を用いてダランベルシアンを$□=\partial_\mu\partial^\mu$とすれば、ローレンツゲージの下でのマクスウェル方程式は，
\begin{align}
□A^\mu=\mu j^\mu
\end{align}
となります。
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