量子力学⑫ 生成消滅演算子
生成消滅演算子とハミルトニアンとの関係
生成消滅演算子というものを紹介します。生成・消滅演算子をこうおいてみる
いきなりですが1次元で以下のように演算子を置いてみましょう生成消滅演算子
$\hat{x},\hat{p}$はエルミートで随伴をとっても等しいことを利用します。
$\hat{a}$が消滅演算子、$\hat{a}^\dagger$を生成演算子として、
\begin{align*}
\hat{a}=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x}+\dfrac{i\hat{p}}{m\omega}\right)
\end{align*}
\begin{align*}
\hat{a}^\dagger=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x}-\dfrac{i\hat{p}}{m\omega}\right)
\end{align*}
個数演算子の導入
$\hat{a}^\dagger \hat{a}$を計算してみましょう。もちろん正準交換関係$[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$を用います。\begin{align*}
\hat{a}^\dagger\hat{a}&=\dfrac{m\omega}{2\hbar}\left(\hat{x}-\dfrac{i\hat{p}}{m\omega}\right)\left(\hat{x}+\dfrac{i\hat{p}}{m\omega}\right)\\
&=\dfrac{m\omega}{2\hbar}\left\{\left(\hat{x}\right)^2+\dfrac{i\hat{x}\hat{p}}{m\omega}-\dfrac{i\hat{p}\hat{x}}{m\omega}+\dfrac{\left(\hat{p}\right)^2}{m^2\omega^2}\right\}\\
&=\dfrac{m\omega}{2\hbar}\left\{(\hat{x})^2+\dfrac{(\hat{p})^2}{m^2\omega^2}+\dfrac{i[\hat{x},\hat{p}]}{m\omega}\right\}\\
&=\dfrac{m\omega}{2\hbar}\left\{(\hat{x})^2+\dfrac{(\hat{p})^2}{m^2\omega^2}-\dfrac{\hbar}{m\omega}\right\}\\
&=\dfrac{m\omega(\hat{x})^2}{2\hbar}+\dfrac{(\hat{p})^2}{2m\hbar\omega}-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
さて、この辺々に$\hbar\omega$をかけて整理すると、
\begin{align*}
\hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger \hat{a}+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{(\hat{p})^2}{2m}+\dfrac{m\omega^2(\hat{x})^2}{2}
\end{align*}
まずこの右辺というのは調和振動子のハミルトニアンですね。しかも左辺も何か見覚えのある形に思えます。波動力学で求めた調和振動子のエネルギーは、
\begin{align*}
E=\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\hbar\omega
\end{align*}
という式で表されました。つまり、$\hat{a}^\dagger\hat{a}$はこの$n$に対応しているというわけです。そこで、
\begin{align*}
\hat{N}=\hat{a}^\dagger\hat{a}
\end{align*}
とおいておきます。これを個数演算子、粒子数演算子あるいは数演算子といいます。これを用いてハミルトニアンは、
\begin{align*}
\hat{H}=\hbar\omega\left(\hat{N}+\dfrac{1}{2}\right)
\end{align*}
と書けるわけです。古典的な振動を考えていちいちハミルトニアンを考えるよりは明快ではないでしょうか。
交換関係・反交換関係と正準量子化
先ほど$\hat{a}^\dagger\hat{a}$を計算したので今度は$\hat{a}\hat{a}^\dagger$を計算しましょう。実は先ほどとほとんど同じで、\begin{align*}
\hat{a}\hat{a}^\dagger&=\dfrac{m\omega}{2\hbar}\left(\hat{x}+\dfrac{i\hat{p}}{m\omega}\right)\left(\hat{x}-\dfrac{i\hat{p}}{m\omega}\right)\\
&=\dfrac{m\omega}{2\hbar}\left\{\left(\hat{x}\right)^2-\dfrac{i\hat{x}\hat{p}}{m\omega}+\dfrac{i\hat{p}\hat{x}}{m\omega}+\dfrac{\left(\hat{p}\right)^2}{m^2\omega^2}\right\}\\
&=\dfrac{m\omega}{2\hbar}\left\{(\hat{x})^2+\dfrac{(\hat{p})^2}{m^2\omega^2}-\dfrac{i[\hat{x},\hat{p}]}{m\omega}\right\}\\
&=\dfrac{m\omega}{2\hbar}\left\{(\hat{x})^2+\dfrac{(\hat{p})^2}{m^2\omega^2}+\dfrac{\hbar}{m\omega}\right\}\\
&=\dfrac{m\omega(\hat{x})^2}{2\hbar}+\dfrac{(\hat{p})^2}{2m\hbar\omega}+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
結局のところ最後の項だけが符号が異なっています。
\begin{align*}
\hat{a}\hat{a}^\dagger=\dfrac{m\omega(\hat{x})^2}{2\hbar}+\dfrac{(\hat{p})^2}{2m\hbar\omega}-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
と比べて、$[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=\hat{a}\hat{a}^\dagger-\hat{a}^\dagger\hat{a}$
を計算すると、
\begin{align*}
[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1
\end{align*}
となります。非常にきれいな関係が得られました。当然反交換関係は0になります。また、この交換関係に従って量子化することを第二量子化ということもあります。
波動関数を固有ケットで表す
調和振動子の波動関数は非常に複雑で扱いにくい式として出てきたのでした。代わりにブラケット記法を用いれば簡単に表せます。調和振動子のエネルギー固有ケットを$\ket{n}$のように表します。ちなみに、このケットは、\begin{align*}
H=\hbar\omega\left(n+\dfrac{1}{2}\right)
\end{align*}
のときに対応することにしておきます。つまり、この$n$を使って固有ケットを表すことにします。このとき、
\begin{align*}
\hat{N}\ket{n}=n\ket{n}
\end{align*}
となります。個数演算子を作用させればそのままケットの中の数が出てくる、ということです。
生成演算子の係数は？
今度は、\begin{align*}
\hat{N}\hat{a}^\dagger\ket{n}
\end{align*}
を計算しましょう。$\hat{N}=\hat{a}^\dagger\hat{a}$と$[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1$を用いて、
\begin{align*}
\hat{N}\hat{a}^\dagger \ket{n}&=\hat{a}^\dagger\hat{a}\hat{a}^\dagger\ket{n}\\
&=\hat{a}^\dagger\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+1\right)\ket{n}\\
&=\hat{a}^\dagger\left(\hat{N}+1\right)\ket{n}\\
&=\hat{a}^\dagger\left(n+1\right)\ket{n}
\end{align*}
ここで、$n$というのは演算子ではなく、ただの数なので、順番は入れ替えることができて、
\begin{align*}
\hat{a}^\dagger\left(n+1\right)\ket{n}&=(n+1)\hat{a}^\dagger\ket{n}
\end{align*}
となります。つまり、最初の形と結びつけると、
\begin{align*}
\hat{N}\hat{a}^\dagger\ket{n}=(n+1)\hat{a}^\dagger\ket{n}
\end{align*}
となります。つまり、演算子も含めて$\hat{a}^\dagger\ket{n}$を固有ベクトルとみなせばその子固有値が$n+1$に変化したということになります。この意味で、生成演算子と呼びます。というわけで、定数をつけて
\begin{align*}
\hat{a}^\dagger\ket{n}=c_1\ket{n+1}
\end{align*}
ということが言えそうです。この定数$c_1$を求めてみましょう。どう求めるかというと、この辺々の自身との内積を取ります。$(\hat{a}^\dagger\ket{n})^\dagger=\bra{n}\left(\hat{a}^\dagger\right)^\dagger=\bra{n}\hat{a}$を利用して、
\begin{align*}
\braket{n|\hat{a}\hat{a}^\dagger|n}=\braket{n+1|c_1^*c_1|n+1}=|c_1|^2
\end{align*}
ここで、左辺の演算子部分を交換関係を用いて変形すると、
\begin{align*}
1 \braket{n|\hat{a}\hat{a}^\dagger|n}&=\braket{n|(\hat{a}^\dagger\hat{a}+1)|n}\\
&=\braket{n|(\hat{N}+1)|n}\\
&=n+1
\end{align*}
よって、$|c_1|^2=n+1$となります。最も簡単に正の実数でとれば、
\begin{align*}
c_1=\sqrt{n+1}
\end{align*}
となります。
消滅演算子の係数は?
生成演算子と同じことを消滅演算子でもやってみます。$\hat{N}\hat{a}\ket{n}$を演算子の交換関係を用いて計算します。\begin{align*}
\hat{N}\hat{a}\ket{n}&=\hat{a}^\dagger\hat{a}\hat{a}\ket{n}\\
&=(\hat{a}\hat{a}^\dagger-1)\hat{a}\ket{n}\\
&=(\hat{a}\hat{a}^\dagger\hat{a}-\hat{a})\ket{n}\\
&=(\hat{a}\hat{N}-\hat{a})\ket{n}\\
&=(\hat{a}n-\hat{a})\ket{n}\\
&=(n-1)\hat{a}\ket{n}
\end{align*}
また先ほどと同じように$\hat{a}\ket{n}$を固有ベクトルとみれば、個数演算子に対する固有値は$n-1$となり、固有値が一つ小さくなりました。その意味で消滅演算子といいます。また同様に
\begin{align*}
\hat{a}\ket{n}=c_2\ket{n-1}
\end{align*}
とおいて定数$c_2$を求めてみましょう。辺々のブラを取れば、
\begin{align*}
\braket{n|\hat{a}^\dagger \hat{a}|n}&=\braket{n|c^*_2c_2|n}\\
n\braket{n|n}&=c^*_2c_2\braket{n|n}\\
n&=|c_2|^2\braket{n|n}\\
n&=|c_2|^2
\end{align*}
また一番簡単に正の実数ととれば、
\begin{align*}
c_2=\sqrt{n}
\end{align*}
となります。
まとめると、
\begin{align*}
\hat{a}\ket{n}&=\sqrt{n}\ket{n-1}\\
\hat{a}^\dagger\ket{n}&=\sqrt{n+1}\ket{n+1}
\end{align*}
となります。これを用いて個数演算子の固有値を計算してみると、
\begin{align*}
\hat{N}\ket{n}&=\hat{a}^\dagger\hat{a}\ket{n}\\
&=\hat{a}\sqrt{n}\ket{n-1}\\
&=\sqrt{n}\hat{a}\ket{n-1}\\
&=\sqrt{n}\sqrt{n}\ket{n}\\
&=n\ket{n}
\end{align*}
となって確かにこれでよさそうですね。