量子力学⑬ 調和振動子と不確定性関係
生成消滅演算子で不確定性関係を示す
今回も生成消滅演算子を用いて話を進めます。そこから不確定性関係を示しに行きます。\begin{align*}
\hat{a}&=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x}+\dfrac{i\hat{p}}{m\omega}\right)\\
\hat{a}^\dagger&=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x}-\dfrac{i\hat{p}}{m\omega}\right)
\end{align*}
というのをそれぞれ消滅演算子、生成演算子と呼んだのでした。この二つの式を足しひきすれば、
\begin{align*}
\hat{x}&=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\left(\hat{a}+\hat{a}^\dagger\right)\\
\hat{p}&=i\sqrt{\dfrac{m\hbar\omega}{2}}\left(\hat{a}^\dagger-\hat{a}\right)
\end{align*}
となります。ここで、これらの期待値を計算してみます。$\hat{a}\ket{n}=c_{n-}\ket{n}$,$\hat{a}\ket{n}=c_{n+}\ket{n}$というように係数をおきます。(前回実数として求めましたが、一般に成り立つようにするためにこうおきました。)さてさて、位置に関する期待値は、
\begin{align*}
\braket{n|\hat{x}|n}&=\bra{n}\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\left(\hat{a}+\hat{a}^\dagger\right)\ket{n}\\
&=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\braket{n|\left(\hat{a}+\hat{a}^\dagger\right)|n}\\
&=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\left(\braket{n|\hat{a}|n}+\braket{n|\hat{a}^\dagger|n}\right)\\
&=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\left(\braket{n|c_{n-}|n-1}+\braket{n|c_{n+}|n+1}\right)\\
&=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\left(c_{n-}\braket{n|n-1}+c_{n+}\braket{n|n+1}\right)\\
&=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}\left(c_{n-}\delta_{n,n-1}+c_{n+}\delta_{n,n+1}\right)\\
&=0
\end{align*}
運動量に関する期待値も同じように計算すると、
\begin{align*}
\braket{n|\hat{p}|n}&=\bra{n}i\sqrt{\dfrac{m\hbar\omega}{2}}\left(\hat{a}^\dagger-\hat{a}\right)\ket{n}\\
&=i\sqrt{\dfrac{m\hbar\omega}{2}}\braket{n|\left(\hat{a}^\dagger-\hat{a}\right)|n}\\
&=i\sqrt{\dfrac{m\hbar\omega}{2}}\left(\braket{n|\hat{a}^\dagger|n}-\braket{n|\hat{a}|n}\right)\\
&=i\sqrt{\dfrac{m\hbar\omega}{2}}\left(\braket{n|c_{n+}|n+1}-\braket{n|c_{n-}|n-1}\right)\\
&=i\sqrt{\dfrac{m\hbar\omega}{2}}\left(c_{n+}\braket{n|n+1}-c_{n-}\braket{n|n-1}\right)\\
&=i\sqrt{\dfrac{m\hbar\omega}{2}}\left(c_{n+}\delta_{n,n+1}-c_{n-}\delta_{n,n-1}\right)\\
&=0
\end{align*}
となります。実はここまでは当たり前です。調和振動というのはいわゆる単振動と同じことですから平均的には0というのは明らかです。ここからが問題で、二乗の期待値を計算します。まず$(\hat{x})^2$を考えると、演算子の交換関係$[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=\hat{a}\hat{a}^\dagger-\hat{a}^\dagger\hat{a}=1$と、$\hat{N}=\hat{a}^\dagger\hat{a}$を用いて、
\begin{align*}
\left(\hat{x}\right)^2&=\dfrac{\hbar}{2m\omega}\left\{\left(\hat{a}\right)^2+\hat{a}\hat{a}^\dagger+\hat{a}^\dagger\hat{a}+\left(\hat{a}^\dagger\right)^2\right\}\\
&=\dfrac{\hbar}{2m\omega}\left\{\left(\hat{a}\right)^2+\left(\hat{a}^\dagger\right)^2+\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+1\right)+\hat{N}\right\}\\
&=\dfrac{\hbar}{2m\omega}\left\{\left(\hat{a}\right)^2+\left(\hat{a}^\dagger\right)^2+2\hat{N}+1\right\}
\end{align*}
これを用いて期待値は、
\begin{align*}
\braket{n|(\hat{x})^2|n}&=\dfrac{\hbar}{2m\omega}\braket{n|\left\{\left(\hat{a}\right)^2+\left(\hat{a}^\dagger\right)^2+2\hat{N}+1\right\}|n}\\
&=\dfrac{\hbar}{2m\omega}\left\{c_{n-}c_{(n-1)-}\braket{n|n-2}+c_{n+}c_{(n+1)+}\braket{n|n+2}+(2n+1)\braket{n|n}\right\}\\
&=\dfrac{\hbar}{m\omega}\left(n+\dfrac{1}{2}\right)
\end{align*}
次に運動量は、
\begin{align*}
\left(\hat{p}\right)^2&=-\dfrac{m\hbar\omega}{2}\left\{\left(\hat{a}^\dagger\right)^2-\hat{a}\hat{a}^\dagger-\hat{a}^\dagger\hat{a}+\left(\hat{a}\right)^2\right\}\\
&=\dfrac{m\hbar\omega}{2}\left\{-\left(\hat{a}^\dagger\right)^2-\left(\hat{a}\right)^2+\left(\hat{a}^\dagger\hat{a}+1\right)+\hat{N}\right\}\\
&=\dfrac{m\hbar\omega}{2}\left\{-\left(\hat{a}^\dagger\right)^2-\left(\hat{a}\right)^2+2\hat{N}+1\right\}
\end{align*}
よって、$\left(\hat{p}\right)^2$の期待値は、
\begin{align*}
\braket{n|\left(\hat{p}\right)^2|n}&=\dfrac{m\hbar\omega}{2}\bra{n}\left\{-\left(\hat{a}^\dagger\right)^2-\left(\hat{a}\right)^2+2\hat{N}+1\right\}\ket{n}\\
&=\dfrac{m\hbar\omega}{2}\left\{-c_{n+}c_{(n+1)+}\braket{n|n+2}-c_{n-}c_{(n-1)-}\braket{n|n-2}+(2n+1)\braket{n|n}\right\}\\
&=m\hbar\omega\left(n+\dfrac{1}{2}\right)
\end{align*}
不確定性関係を満たしていることの確認
実は以上の結果から不確定性関係を得ることができます。物理量$A$に対する標準偏差を$\sigma(A)$のように書きます。つまり、\begin{align*}
\sigma(A)=\sqrt{\braket{A^2}-\left(\braket{A}\right)^2}
\end{align*}
ということです。このとき、
\begin{align*}
\sigma(x)&=\sqrt{\braket{x^2}-\left(\braket{x}\right)^2}\\
&=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}\left(n+\dfrac{1}{2}\right)-0^2}\\
&=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}\\
\sigma(p)&=\sqrt{\braket{p^2}-\left(\braket{p}\right)^2}\\
&=\sqrt{m\hbar\omega\left(n+\dfrac{1}{2}\right)-0^2}\\
&=\sqrt{m\hbar\omega\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}
\end{align*}
となるので、つまり、
\begin{align*}
\sigma(x)\sigma(p)&=\sqrt{\dfrac{\hbar}{m\omega}\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}\sqrt{m\hbar\omega\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}\\
&=\hbar\left(n+\dfrac{1}{2}\right)
\end{align*}
ここで、$n$というのは0以上の整数なので、
\begin{align*}
\sigma(x)\sigma(p)\geq \dfrac{\hbar}{2}
\end{align*}
となります。