量子力学③ 時間に依存しないシュレディンガー方程式
シュレディンガー方程式を変数分離する
シュレディンガー方程式を時間と座標に分けられたら方程式を解くのが少しは楽になりそうですね。というわけで、変数分離という方法で計算を進めてみます。時間に依存しないシュレディンガー方程式とは？
時間に依存しないシュレディンガー方程式
\begin{align*}
\left\{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\boldsymbol{r})\right\}\varphi(\boldsymbol{r})=E\varphi (\boldsymbol{r})
\end{align*}
シュレディンガー方程式を変数分離する
自由粒子のシュレディンガー方程式の解の形を仮定する
以下の1次元のシュレディンガー方程式を考えます。ただし、ポテンシャルは簡単のために0としました。\begin{align*}
i\hbar\dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}\psi(x,t)}{\partial x^{2}}
\end{align*}
この方程式を考えることにします。
偏微分方程式を変数分離して解くには仮定が必要ですね。
こんなふうに書けると仮定してみます。
変数分離法の重要な仮定
\begin{align*}
\psi(x,t)=\varphi(x)T(t)
\end{align*}
ただし、両関数が恒等的に0になる場合は波動関数として意味をなさないので除きます。\begin{align*}
i\hbar \varphi(x)\dfrac{dT(t)}{dt}=-\dfrac{\hbar^{2}T(t)}{2m}\dfrac{d^{2}\varphi(x)}{dx^{2}}
\end{align*}
これを解けばいいですね。 変数がまじりあっているので、左辺に$t$、右辺に$x$の式をまとめましょう。
\begin{align*}
\dfrac{i\hbar}{T(t)}\dfrac{dT(t)}{dt}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{1}{\varphi(x)}\dfrac{d^{2}\varphi(x)}{dx^{2}}\end{align*}
こうして左辺は$t$のみ、右辺は$x$のみの関数になりました。
恒等的に等号が成り立つには両辺がある定数に等しくなる必要があるので,
その定数を$C$とします。
時間成分の方程式を解く
左辺$=$$C$として、\begin{align*}
\dfrac{dT(t)}{dt}=-\dfrac{iC}{\hbar}T(t)
\end{align*}
となります。この微分方程式は
\begin{align*}
\dfrac{dT(t)}{T(t)}=-\dfrac{iC}{\hbar}dt
\end{align*}
辺々積分して、この解は、定数$B$を用いて、
\begin{align}
T(t)=Be^{-\frac{iC}{\hbar}t} \label{eq-quantum3:1}
\end{align}
となります。
座標部分の関数をもとめる
次に、右辺$＝$$C$ として、\begin{align*}
\dfrac{d^{2}\varphi(x)}{dx^{2}}=-\dfrac{2mC}{\hbar^{2}}\varphi(x)
\end{align*}
この微分方程式の解は、定数$D$を用いて、単振動の解と同じ形ですから
\begin{align}
\varphi(x)=De^{\pm{\frac{i\sqrt{2mC}}{\hbar}x}} \label{eq-quantum3:2}
\end{align}
よって波動関数$\psi(x,t)$は、\eqref{eq-quantum3:1},\eqref{eq-quantum3:2}より、
\begin{align*}
\psi(x,t)=BDe^{i\left(\pm{\frac{\sqrt{2mC}}{\hbar}}x-\frac{C}{\hbar}t\right)}
\end{align*}
ここで、BDは定数です。ところで元の形として、
\begin{align*}
\psi(x,t)=Ae^{i\left(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t\right)}
\end{align*}
という形を想定していました。ここで、指数部に着目してみましょう。もともと考えていた式と指数部を比べると、$E=C$という関係がわかります。
実は適当においていた$C$はエネルギーのことでした。 よって$C$をあらためて$E$とおきなおします。そして、$C$とは
\begin{align*}\dfrac{i\hbar}{T(t)}\dfrac{dT(t)}{dt}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{1}{\varphi(x)}\dfrac{d^{2}\varphi(x)}{dx^{2}}\end{align*}
この両辺の値でした。座標に関する方程式・解を導出する
右辺$＝E$より、\begin{align*}-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\varphi(x)}{dx^{2}}=E\varphi (x)\end{align*}
また、ポテンシャルを考慮して拡張したいのですが、左辺は運動エネルギーを表していて、右辺の$E$というのは全エネルギーで、今回はポテンシャル零の自由粒子を表していました。よって、$E$を$E-V(x)$に置き換えて、さらに三次元に拡張すれば
時間に依存しないシュレディンガー方程式
\begin{align*}
\left\{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\boldsymbol{r})\right\}\varphi(\boldsymbol{r})=E\varphi (\boldsymbol{r})
\end{align*}