量子力学② シュレディンガー方程式の導出
シュレディンガー方程式を導出する
シュレディンガー方程式の導出をします。ただ、シュレディンガー方程式はあくまで原理みたいなもので、なぜ成り立つかというのは説明できません。ただし実験的には正しいということが確かめられています。今回の導出ではあくまでどうやってシュレディンガー方程式を思いついたかということを説明するだけです。
まず、光の二重性という考え方を用います。波動としての性質を持ち、粒子としての性質も持つのでしたね。
ド・ブロイ波長～すべての物体は波として振動している?
すべての物体は以下のような波長で振動していると考えることができました。ド・ブロイ波長
運動量$p=mv$，プランク定数$h$、波長$\lambda$について\begin{align*}
\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{mv}
\end{align*}
アインシュタインが提唱した光量子説とは?
光量子説
光を構成しているのは粒子(光子)として以下のエネルギーをもつ。
\begin{align*}E=h\nu=\hbar\omega\end{align*}
波動として考える
いきなり3次元で計算しようとするとベクトル解析の知識も必要となり計算もかなりしんどいので、ここでは一次元で考えます。 まずは波を正弦波として考えますが、これをオイラーの公式を使って書き直すことにします。波数と角振動数の定義
波数$k$と角振動数$\omega$の定義
振動数$\nu$と波長$\lambda$に対して
\begin{align*}
\omega=2\pi \nu, k=\dfrac{2\pi}{\lambda}
\end{align*}
\begin{align*}
\psi(x,t)=C_{1}\cos{(kx-\omega t)}+C_{2}\sin{(kx-\omega t)}
\end{align*}
と、表されます。ただ、このままだと微分するたびに形が変わって面倒ですね。よって以下のようにあらわすことにします。
\begin{align*}
\psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}
\end{align*}
これで三角関数の重ね合わせは表現できたことになります。(参考：オイラーの公式の記事)
波動関数$\psi$の$x$での2階微分は、
\begin{align*}
\dfrac{\partial^{2} \psi(x,t)}{\partial x^{2}}=-Ak^2e^{i(kx-\omega t)}=-k^{2}\psi(x,t)
\end{align*}
ここで、辺々に$-\hbar^2$をかけると
\begin{align*}
-\hbar^2\dfrac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}&=\hbar^2 k^2\psi(x,t)
\end{align*}
ここで、$p=\dfrac{h}{\lambda}=\hbar k$を用いると、
\begin{align*}
-\hbar^2\dfrac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}&=p^2\psi(x,t)
\end{align*}
辺々を$2m$でわって、
\begin{align}
-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}&=\dfrac{p^2}{2m}\psi(x,t) \label{eq-quantum2:1}
\end{align}
次に、$t$での1階微分は、
\begin{align*}\dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=-i\omega Ae^{i(kx-\omega t)}=-i\omega \psi(x,t)\end{align*}
辺々に$i\hbar$をかけると、
\begin{align*}
i\hbar\dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=\hbar \omega \psi(x,t)
\end{align*}
ここで、$E=\hbar\omega$を用いると、
\begin{align}
i\hbar \dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=E\psi(x,t) \label{eq-quantum2:2}
\end{align}
ここで、運動量と運動エネルギーの関係式を用います。ポテンシャルを$V$として、
\begin{align*}
E=\dfrac{p^{2}}{2m}+V(x)
\end{align*}
となりますが、この辺々に右から波動関数$\psi(x,t)$をかけると、
\begin{align*}
E\psi(x,t)=\dfrac{p^2}{2m}\psi(x,t)+V(x)\psi(x,t)
\end{align*}
ここで、\eqref{eq-quantum2:1},\eqref{eq-quantum2:2}を用いると、
\begin{align*}
i\hbar\dfrac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\psi(x,t)
\end{align*}
となります。これでもいいのですが、右辺の右からかかっている波動関数をくくるときれいに見えますね。
\begin{align*}
i\hbar \dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=\left\{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right\}\psi(x,t)
\end{align*}
一次元の自由粒子のシュレディンガー方程式となります。シュレディンガー方程式を3次元に拡張すると、
\begin{align*}i\hbar \dfrac{\partial \psi(\boldsymbol{r})}{\partial t}=\left\{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\boldsymbol{r})\right\}\psi(\boldsymbol{r})\end{align*}
（$r$は座標を表すベクトルです）
というわけで、シュレディンガー方程式を導出しました。