相対性理論① 特殊相対性理論・ローレンツ変換
ローレンツ変換と光速度の関係
光速度がどの系から見ても一定という原理を使ってローレンツ変換というものを考えます。光速度を超える物体の運動が許されないという条件はこの導出に含まれています。基本となる2つの原理
二つの重要な原理が存在します
光速度不変の原理
光源や観測者の速度によらず光速度は一定
特殊相対性原理
物理法則は慣性系では不変(同じ公式が成り立っている)
ガリレイ変換で特殊相対性原理で不変
基準となるような$O$系$(t,x,y,z)$と$O$系に対して$x$軸方向に等速度$v$で運動する$O'$系$(t',x',y',z')$を考えます。 この二つの系の各軸は同じ方向になっている、$t=t'=0$で原点一致として、
\begin{align*}
t'&=t\\
x'&=x-vt\\
y'&=y\\
z'&=z
\end{align*}
という関係が成り立ちます。今、慣性系を考えています。慣性系は物体は絶対的に静止している、または等速運動をしていることになります。つまり、加速度は零なので両系での物体にはたらく外力は、$\boldsymbol{F}$$=$$\boldsymbol{F^\prime}$で$O$,$O^\prime$の両系で物体にはたらく力は等しくなります。また、位置を表すベクトル$\boldsymbol{r}$,$\boldsymbol{r^\prime}$についても$x^\prime$を$t^\prime$で2階微分すれば、結局、時刻を含む項は消えて、
\begin{align*}
m\dfrac{d^2\boldsymbol{r^\prime}}{d{t^\prime}^2}=m\dfrac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}
\end{align*}
つまり特殊相対性原理を満たしているわけです。
ただこの方法ではMaxwell方程式は不変にはならず、特殊相対性原理に反することになります。というわけでここで新たに用意するのがローレンツ変換です。
ローレンツ変換を求める
両系に成り立つ式
先に紹介した二つの系$O$と$O^\prime$を考えます。それぞれの微小時間$dt$の間に微小距離伝わっていく光を考えます。光速度不変の原理より両系の光の伝搬速度は一定で、光速度$c$に対して、
\begin{align*}
dx^2+dy^2+dz^2&=c^2\ dt^2 \\
{dx^\prime}^2+{dy^\prime}^2+{dz^\prime}^2&=c^2 {dt^\prime}^2
\end{align*}
という関係がそれぞれ成り立ちます。これらは球面の式となっています。
両系の関係性を式にする
ここで、これらの座標変換として、適当な$4$$\times$$4$行列$\Lambda$を考えます。ただし、次元を長さでそろえるために時間成分に光速度をかけています。\begin{align*}
\begin{pmatrix}
ct'\\
x'\\
y'\\
z'
\end{pmatrix}
=\Lambda
\begin{pmatrix}
ct\\
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
\end{align*}
この線形写像$\Lambda$を求めたいわけです。まず、$y'$,$z'$にかかる部分は...実はそれぞれ$y,z$と等しくなります。というわけで問題なのは上二つ分ですね。$O$系にも$O'$系にも$y,z$軸方向の変化に依存した$t,x$の違いはないと考えることができて、$2$$\times$$2$の行列$L$について以下の関係を考えます。
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
ct'\\
x'
\end{pmatrix}
=L
\begin{pmatrix}
ct\\
x
\end{pmatrix}
\end{align*}
このような$L$を求めて元の$\Lambda$に戻してあげればよいでしょう。以下、この$L$を以下のようにおいて進めます。
\begin{align*}
L=
\begin{pmatrix}
A & B \\ C & D
\end{pmatrix}
\end{align*}
このとき、逆行列は
\begin{align*}
L^{-1}=\dfrac{1}{AD-BC}
\begin{pmatrix}
D & -B \\
-C & A
\end{pmatrix}
\end{align*}
さてさて、考えるとよい条件は
①$O$系から見れば時刻$t$で$O'$系の原点が$x=vt$となるところにある。
②$O^\prime$系から見れば時刻$t^\prime$で$O$系の原点が$x^\prime=-vt$にある。
③時刻$t$$=$$t^\prime$$=$$0$で原点から発せられた光は同じ速度で伝搬する。
④$O^\prime$から$O$系への変換は速度を$-v$に置き換えただけのものになっている。
条件一つ目
まず、\begin{align*}
\begin{pmatrix}
ct^\prime \\ x^\prime
\end{pmatrix}
=L
\begin{pmatrix}
ct \\ x
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Act+Bx \\ Cct+Dx
\end{pmatrix}
\end{align*}
ここで、$O$系と$O^\prime$系の間に$x=vt$で$x^\prime=0$をという関係があったので、
\begin{align*}
0=Cct+Dvt=(Cc+Dv)t
\end{align*}
これが任意の$t$について成り立つので、
\begin{align}
C&=-\dfrac{v}{c}D \label{eq-rel1:1}
\end{align}
条件二つ目
また、$L^{-1}$を用いて、$O^\prime$系から$O$系への関係を考えると、\begin{align*}
\begin{pmatrix}
ct \\ x
\end{pmatrix}
=L^{-1}
\begin{pmatrix}
ct^\prime \\ x^\prime
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{Dct^\prime-Bx^\prime}{AD-BC} \\
\dfrac{-Cct^\prime +Ax^\prime}{AD-BC}
\end{pmatrix}
\end{align*}
ここでも、$x^\prime=-vt=-vt^\prime$で、$x=0$と考えれば、
\begin{align*}
-Cct^\prime-Avt^\prime=-(Av+Cc)t^\prime=0
\end{align*}
これが任意の$t^\prime$について成り立つので、\eqref{eq-rel1:1}より、
\begin{align}
A=-\dfrac{c}{v}C=D \label{eq-rel1:2}
\end{align}
条件三つ目
時刻$t=t^\prime=0$では両座標系の原点は一致していますが、その時刻で原点から光が発せられたとします。このとき、光速度不変の原理から$x$軸方向に伝搬する光は$x=ct$、$x^\prime=ct^\prime$が成り立つはずです。もう一度\eqref{eq-rel1:2}を用いて、$C,D$を消去した状態で両系の関係を書き直すと、\begin{align*}
\begin{pmatrix}
ct^\prime \\ x^\prime
\end{pmatrix}
=L
\begin{pmatrix}
ct \\ x
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Act+Bx \\
-\dfrac{v}{c}Act+Ax
\end{pmatrix}
\end{align*}
ここで、$x=ct$かつ$x^\prime=ct^\prime$として、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x^\prime \\ x^\prime
\end{pmatrix}
=L
\begin{pmatrix}
x \\ x
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Ax+Bx \\
-\dfrac{v}{c}Ax+Ax
\end{pmatrix}
\\
\therefore x^\prime=(A+B)x=\left(1-\dfrac{v}{c}\right)Ax
\end{align*}
これが任意の$x$について成り立つので、
\begin{align*}
B=-\dfrac{v}{c}A
\end{align*}
となります。
条件四つ目
ここまでをまとめると、\begin{align*}
L&=
\begin{pmatrix}
A & -\dfrac{v}{c}A \\ -\dfrac{v}{c}A & A
\end{pmatrix}
\\
L^{-1}&=\dfrac{1}{A^2\left\{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2\right\}}
\begin{pmatrix}
A & \dfrac{v}{c}A \\
\dfrac{v}{c} & A
\end{pmatrix}
\end{align*}
さて、ここで、対称性を課します。$O$系から見れば$O^\prime$系は速度$v$で運動していますが、逆に$O^\prime$系から見れば$O$系は速度$-v$で運動しています。よって、$L^{-1}$は$L$に含まれている$v$を$-v$で置き換えただけのものになっていなければいけません。つまり、$L^{-1}$の行列の前の係数は1であればよいでしょう。よって、
\begin{align*}
\dfrac{1}{A^2\left\{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2\right\}}&=1 \\
\therefore A^2=\left\{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2\right\}^{-1}(\gt 0)
\end{align*}
さて、まず$v$に関して
速度$v$に関する条件
\begin{align*}
|v| \lt c
\end{align*}
\begin{align*}
A=\pm \dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}}\text{のとき、}
x^\prime =\pm \dfrac{x-vt}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}}
\end{align*}
となります。$v=0$とすれば$O$系と$O^\prime$系が一致するはずですが、$A$が負のときは明らかに不適合ですね。よって、$A$は正のもののみを採用すべきでしょう。よって、
\begin{align*}
L=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}}
\begin{pmatrix}
1 & -\dfrac{v}{c} \\
-\dfrac{v}{c} & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
ここで、頻繁に出てくる式を別の文字に置き換えてやろうと思います。
ローレンツ因子
\begin{align}
\beta&=\dfrac{v}{c} \\
\gamma &=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\end{align}
として、$\gamma$をローレンツ因子といいます。
\begin{align*}
L=
\begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma \\
-\beta \gamma & \gamma
\end{pmatrix}
\end{align*}
以上のことをまとめると
ローレンツ変換
\begin{align*}
\Lambda= \begin{pmatrix}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}