相対性理論② 特殊相対性理論・ミンコフスキー時空間
ミンコフスキー時空間とは?
座標と時間を混ぜ合わせてローレンツ変換という変換を導入しましたが、ここではその4次元空間を扱う方法を考えることにします。計量テンソルと線素を導入する
時空間、つまり時間と3次元の空間を合わせた4次元の世界を考えます。$O(x,y,z,t)$系と$O^\prime(x^\prime,y^\prime,z^\prime,t^\prime)$を考えます。光速度不変の原理より、\begin{align*}
dx^2+dy^2+dz^2&=c^2 \ dt\\
d{x^\prime}^2+d{y^\prime}^2+d{z^\prime}^2&=c^2 \ d{t^\prime}^2
\end{align*}
となります。つまり、各系で光速度は同じ$c$で、光が発せられて$dt$後には、半径$c^2\ dt^2$の球面の位置まで到達していて、それは$O$系も$O^\prime$系も同じということです。この式を利用して、線素dsを以下のように定義します。
線素の定義
\begin{align*}
ds^{2}=c^2\ dt^2-dx^2-dy^2-dz^2
\end{align*}
\begin{align*}
\eta_{\mu\nu}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1& 0 & 0\\
0 & 0 & -1& 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\end{align*}
$\mu,\nu$が$0,1,2,3$をそれぞれ動くとして、$ct=x^{0},x=x^{1},y=x^{2},z=x^{3}$と番号を振ります。すなわち以下のように表せます。
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x^{0}\\
x^{1}\\
x^{2}\\
x^{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ct\\
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
\end{align*}
こうすると、線素は以下のように書きなおすことができます。
\begin{align*}
ds^{2}=\displaystyle \sum_{\mu, \nu}\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}
\end{align*}
さらに、これを以下のように省略します。
\begin{align*}
ds^{2}=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}
\end{align*}
これはアインシュタインの縮約記法などといいます。また、同様にして微分演算子を以下のように定義します。
\begin{align*}\partial_{\mu}=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}\\
\dfrac{\partial}{\partial y}\\
\dfrac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\\
\partial^{\mu}=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\\
-\dfrac{\partial}{\partial x}\\
-\dfrac{\partial}{\partial y}\\
-\dfrac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}□=\partial_{\mu}\partial^{\mu}=\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}\end{align*}
この演算子$□$をダランベルシアンと呼びます。
この演算子を用いて、
\begin{align*}□u=0\end{align*}
とすれば、これは波動方程式です。
時間の進み方と固有時の定義
線素を計算すると、\begin{align*}
ds^{2}&=(c\ dt)^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\\&=c^{2} \left\{1-\left(\dfrac{\boldsymbol{v}}{c}\right)^{2} \right\}dt^2
\end{align*}
ここで、ローレンツ因子$\gamma$は、
\begin{align*}
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\boldsymbol{v}}{c}\right)^{2} }}
\end{align*}
なので、
\begin{align*}
ds^{2}=\dfrac{c^{2}}{\gamma^{2}}dt^{2}
\end{align*}
となります。ここで以下のように固有時を定義します。
固有時
物体と同じ速度の慣性系から見れば、
\begin{align*}
ds^2=(c\ d\tau)^2
\end{align*}
で、この$\tau$を固有時といいます。
\begin{align*}
dx^2+dy^2+dz^2=c^2 \ dt^2
\end{align*}
が光速度不変の原理より任意の慣性系に対して成り立つことを考えると、$ds^2$はローレンツ変換の下で不変なので、
\begin{align}
\gamma d\tau=\dfrac{d\tau}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\boldsymbol{v}}{c}\right)^2}}=dt \label{eq-rel2:1}
\end{align}
つまり、移動の速さが早いほどその系での時間の進みが遅くなります
4元物理量を定義する
線素\begin{align*}
ds^{2}=(c\ dt)^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}
\end{align*}
4元速度を固有時を用いて、以下のように定義します。
4元速度
\begin{align*}
v^\mu=
\begin{pmatrix}
c\dfrac{dt}{d\tau}\\
\dfrac{dx}{d\tau}\\
\dfrac{dy}{d\tau}\\
\dfrac{dz}{d\tau}
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
v^\mu=\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}=\gamma\dfrac{dx^{\mu}}{dt}=\gamma
\begin{pmatrix}
c \\ \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt}
\end{pmatrix}
\end{align*}
という関係があります。ここで、この4元速度を用いて4元運動量を定義します。
4元運動量
静止質量(固有時系での質量)を$m_{0}$として、4元運動量$p^{\mu}$は、4元速度$v^\mu$を用いて、
\begin{align*}
p^\mu = m_0 v^\mu
\end{align*}
と表せます。
\begin{align*}
p^{\mu}=m_{0} v^\mu=\gamma m_{0}\dfrac{dx^\mu}{dt}=\gamma m_0
\begin{pmatrix}
c \\ \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt}
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります。これは、動いている系では、質量が$\gamma$倍に小さくなっているということになります。ただし、普段扱っているような系では$v$は光速度に比べて非常に小さいためローレンツ因子$\gamma$はほぼ1であり、質量はまるで一定のように見えていたのです。