集合論①写像の種類 単射 全射 全単射

写像の意味とは?

数学で扱う、「写像」とは二つの集合があるときのそれぞれの要素の対応をいいます。英語ではmapとかmappingといいます。が、実は「関数」という考え方とほぼ同義と思ってよいと思います。

単射・全射・全単射の定義

写像の種類

写像$f:X↦Y$に対して、

• 単射
$X$の要素$x$の値が違うなら対応する$Y$の値も異なる


• 全射
どんな$Y$の要素$y$をとっても、対応する$X$の要素$x$が存在する。


• 全単射
単射かつ全射な写像

$X,Y$は、いわゆる定義域と値域です。無限集合として集合の一種として扱います。 $X,Y$を実数全体とします。以下に例を示します。

単射・全射・全単射の例

• 「単射であるが、全射ではない」

$y=2^{x}$
同じ値$yを出力するx$はないはずです。 一般に、連続かつ単調増加な関数は$x$の値が違えば$y$も違います よって、単射です。 全射ではないことは「どんな$y$を考えても、それを満たす$x$が存在するか？」を考えればいいわけです。 今回、集合$Y$として実数全体を考えているのですが、指数関数の値域は正の実数です。 つまり、$y=-1$を満たす$x$の値は存在しません。 よって全射ではありません。


• 「全射であるが、単射ではない」

$y=\tan{x}$
どんな$y$の値に対してもそれを満たす$x$は存在します。 しかし、これは周期関数ですから、$y$の値に対して、それを満たす$x$は複数存在します。



• 「全射かつ単射、つまり全単射」

$y=x$
$x$の一次関数は全単射です。 もう言うまでもないかな。



• 「全射でも単射でもない」

$y=\sin{x}$
$y=2$を満たす$x$は存在しないし、$y=0$となる$x$はいくらでもありますね。

単射・全射・全単射判定の例題

$X,Y$を実数全体としたときに、以下は全射、単射、どちらでもない、全単射のどれでしょうか。


$$ \begin{align*} (1)y&=\log{x}\\ (2)y&=x^{2} \end{align*}$$



（答）

(1)全単射...($x$が０や負のときは定義されませんが、$y$が実数全体をとる、ということが重要です。)

(2)全射でも単射でもない...($x=1,-1のときy$は同じ値ですし、$y$が負のときは$x$は実数でなくなるので)


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