集合論② 集合の濃度とベルンシュタインの定理

集合の濃度とは?

測度論ってところでも使います。いわゆるルベーグ積分につながります。(参考:ディリクレ関数のルベーグ積分) まず、定義から。

集合の濃度とは?

集合の濃度

\begin{align*} 「集合AとBの濃度が等しい」&\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}AとBの間に全単射が存在する\\ 「集合Aの濃度はBの濃度以下」&\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}AからBへの単射は存在する \end{align*}

集合$A$と$B$の濃度が等しいことを、$A$～$B$と書きます。 集合$A$の濃度を$|A|$と書きます. つまり、$A$~$B$は$|A|=|B|$とも書けます。

可算集合の定義とは?

可算集合

自然数と濃度が等しい集合を可算集合といいます。

と、定義します。 ここで、「算」というのは「数える」ということで、数えることができる集合のことを言います。

ベルンシュタインの定理

ベルンシュタインの定理の内容

ベルンシュタインの定理

\begin{align*}「AからB,BからAの単射がそれぞれ存在すれば、A～B」\end{align*}

$A$~$B$とは$A$から$B$への全単射が存在することですから、 $A$から$B$, $B$から$A$の単射がそれぞれ存在すれば、$A$から$B$への全単射が存在する、ともいえますね。 厳密な証明は難しいので割愛しますが、意味だけ理解してください。

ベルンシュタインの定理の意味

$A$から$B$への単射が存在するならば、$|A|$$\leq |B|$であり、$B$から$A$への単射が存在するならば、$|B|$$\leq|A|$

つまり、以上かつ以下、これを満たすのは両者が等しいときだけです。

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