ベクトル解析⑦ 線積分と曲線の長さを求める公式
線積分の計算方法とは?
スカラー値関数、ベクトル値関数にわけて、線積分の計算方法を説明します。積分結果がスカラーで帰ってくるように定義すると考えれば計算方法を受け入れやすいかと思います。 以下、\begin{align*}
\boldsymbol{r}=
{}^t
\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}
\end{align*}
としています。
線積分とは?
線積分とは普通の積分を一般の積分経路に拡張したと考えればよいでしょう。たとえば、一般の積分\begin{align*}
\int_0^1 f(x)dx
\end{align*}
というと積分経路が$x$軸上ということになります。この積分経路がたとえば、単位円上だったらどうなるでしょうか？という感じの話です。
スカラー値関数の線積分
スカラー値関数の線積分の計算方法
スカラー値関数の線積分
位置座標$\boldsymbol{r}$を$t$$(a\leq t \leq b)$でパラメータ付けして、
\begin{align}
\int_a^b f(t)\left\|\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt \label{eq:1}
\end{align}
線積分の計算例題
たとえば、$C$:$y=x^2$$(0\leq 1)$に沿って、関数$f(x,y,z)=x^2(1+y)$を積分しましょう。 まずは積分経路をパラメータ$t$を使って表します。表し方には複数通りあると思いますが、たとえば、$0\leq t\leq 1$として、\begin{align*}
\boldsymbol{r}=
{}^t
\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}
=
{}^t
\begin{pmatrix}
t & t^2 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
ここで、
\begin{align*}
\left\|\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|=\sqrt{t^2+(t^2)^2+0^2}=t\sqrt{t^2+1}
\end{align*}
また、$f$$=t^2(1+t^2)$となります。よって、線積分の値は以下のように計算できます。ただし、$\int_C f\ ds$は経路$C$に沿った線積分を表しています。
\begin{align*}
\int_Cf(x,y,z)ds
&=\int_0^1 t^2(1+t^2)\cdot t\sqrt{t^2+1}dt \\
&=\int_0^1 t^3(1+t^2)^\frac{3}{2}dt
\end{align*}
ここで、$k$$=1+t^2$とおくと、$dk$$=2t\ dt$で、積分範囲は1から2までになります。
\begin{align*}
\int_Cfds
&=\dfrac{1}{2}\int_1^2 (k-1)k^\frac{3}{2}dk \\
&=\left. \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{7}k^\frac{7}{2}-\frac{2}{5}k^\frac{5}{2}\right)\right|^2_1 \\
&=\left. \left(\dfrac{1}{7}k^\frac{7}{2}-\frac{1}{5}k^\frac{5}{2}\right)\right|^2_1 \\
&=2^\frac{5}{2}\left(\dfrac{2}{7}-\dfrac{1}{5}\right)-\left(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{5}\right) \\
&=\dfrac{12\sqrt{2}+2}{35}
\end{align*}
となります。
曲線の長さを求める公式
曲線の長さを求める公式
\begin{align*}
\int_C\left\|\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt
=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dz}{dt}\right)^2}dt
\end{align*}
\begin{align*}
\int_C\left\|\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt
&=\int_{t_1}^{t_2}\left\|\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right\|dt \\
&=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dz}{dt}\right)^2}dt
\end{align*}
ベクトル値関数の線積分
ベクトル値関数の線積分の計算方法
ベクトル値関数の線積分
位置座標$\boldsymbol{r}$を$t$$(a\leq t \leq b)$でパラメータ付けして、
\begin{align}
\int_a^b \boldsymbol{F}\cdot\dfrac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt \label{eq:2}
\end{align}
ベクトル値関数の線積分計算例題
たとえば、$xy$平面上半径$a$の円に反時計回りに沿って、$(a,0,0)$から$(0,a,0)$までの経路に沿って\begin{align*}
\boldsymbol{F}=
{}^t
\begin{pmatrix}
-y & x & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
について、線積分を行います。この時経路はパラメータ$\theta$($0\leq \theta \leq \pi/2$)を用いて、
\begin{align*}
\boldsymbol{r}=
{}^t
\begin{pmatrix}
a\cos{\theta} & a\sin{\theta} & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
と表せます。このとき、
\begin{align*}
\boldsymbol{F}&=
{}^t
\begin{pmatrix}
-a\sin{\theta} & a\cos{\theta} & 0
\end{pmatrix} \\
\dfrac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}&=
{}^t
\begin{pmatrix}
-a\sin{\theta} & a\cos{\theta} & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}
&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\boldsymbol{F}\cdot\dfrac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}d\theta \\
&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \begin{pmatrix}
-a\sin{\theta} \\ a\cos{\theta} \\ 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-a\sin{\theta} \\ a\cos{\theta} \\ 0
\end{pmatrix}d\theta \\
&=a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})d\theta \\
&=a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta \\
&=\dfrac{\pi a^2}{2}
\end{align*}