統計力学⑨ フェルミ・ディラック分布関数
フェルミディラック統計とは?
大分配関数を用いてフェルミ・ディラック分布関数を求めます。フェルミ・ディラック分布とは
フェルミ・ディラック分布
エネルギー$\varepsilon$の準位の、粒子数の期待値は
\begin{align*}
f(\varepsilon)=\dfrac{1}{\exp{\left(\frac{\varepsilon-\mu}{k_BT}\right)}+1}
\end{align*}
大分配関数を計算する
今回はフェルミ粒子を考えます。 ある準位$j$の1粒子エネルギーを$\varepsilon_j$とします。また、その準位$j$にある粒子数を$n_j$とします。そのとき、状態$i$の全エネルギーは$E_j=\sum_j n_j \varepsilon_j$(すべての準位に関して粒子数と一粒子エネルギーの積の和)と表せます。また、状態$i$の全粒子数は$N_i=\sum_j n_j$となります。大分配関数は、\begin{align*}
Z_G&=\sum_{\{n_i\}} e^{-\beta(E_i-N_i\mu)} \\
&=\sum_{\{n_i\}} e^{-\beta(\sum_j n_j\varepsilon_j-\sum_j n_j\mu)} \\
&=\sum_{\{n_i\}} e^{-\beta\sum_jn_j(\varepsilon_j-\mu)} \\
&=\sum_{\{n_i\}}\prod_{j} e^{-\beta n_j (\varepsilon_j-\mu)}
\end{align*}
さて、$\{n_i\}$というのは取りうるすべての$n_i$の配列についての和です。
フェルミ粒子ではパウリの排他原理がはたらいて各準位で$n_i=0,1$です。
とにかくすべての取りうる状態について和を取ればいいので、積と和は入れ替えることができて、
\begin{align*}
Z_G&=\prod_{j} \sum_{n_j=0,1} e^{-\beta n_j(\varepsilon_j-\mu)}
\end{align*}
となります。ここで、和は計算できて、
\begin{align}
Z_G&=\prod_{j} \left\{1+e^{-\beta(\varepsilon_j-\mu)}\right\}\label{eq-sm9:1}
\end{align}
となります。
大分配関数と粒子数の関係
グランドポテンシャル$\Omega$と大分配関数$Z_G$と、粒子数$N$の間には、\begin{align*}
\Omega&=-\dfrac{1}{\beta}\ln{Z_G} \\
N&=-\dfrac{\partial\Omega}{\partial \mu}
\end{align*}
という関係がありました。これらの式から粒子数を計算すると、
\begin{align*}
N&=\dfrac{1}{\beta}\dfrac{\partial}{\partial \mu}\left(\ln{Z_G}\right) \\
&=\dfrac{1}{\beta}\dfrac{\partial}{\partial \mu}\left(\ln{\prod_j \dfrac{1}{1+e^{-\beta(\varepsilon_j-\mu)}}}\right) \\
&=-\dfrac{1}{\beta}\dfrac{\partial}{\partial \mu}\sum_j \ln{\left\{1+e^{-\beta(\varepsilon_j-\mu)}\right\}} \\
&=-\dfrac{1}{\beta}\sum_j\dfrac{-\beta e^{-\beta(\varepsilon_j-\mu)}}{1+e^{-\beta(\varepsilon_j-\mu)}} \\
&=\sum_j\dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon_j-\mu)}+1}
\end{align*}
この式を考えるとエネルギー準位$j$を取る粒子数$f_{FD}(\varepsilon_j)$は
\begin{align*}
f_{FD}(\varepsilon_j)=\dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon_j-\mu)}+1}
\end{align*}
となります。これがフェルミ・ディラック分布関数です。