統計力学⑧ 統計性とスレーター行列式
フェルミオンの統計性からスレーター行列式を導く
フェルミ粒子(フェルミオン)とボーズ粒子(ボゾン、ボソン)の違いとその違いが生じる由来を説明します。多粒子系の波動関数を考える。
粒子の座標$\xi_i$,$i=1,2,\cdots ,N$の波動関数\begin{align*}
\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_N)
\end{align*}
を考えます。ここで、$\xi_i$というのは位置とスピンを合わせた座標です。ここで、$i\ne j$を満たす、$i,j$について置換を行う演算子$\hat{\sigma}_{ij}$を考えます。つまり、
\begin{align*}
\hat{\sigma}_{ij}\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots ,\xi_N)
=\sigma_{ij} \Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots \xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_N)
\end{align*}
ここで、$\sigma_{ij}$は定数です。もう一度$\hat{\sigma}_{ij}$を作用させてみましょう。
\begin{align*}
&\hat{\sigma}^2_{ij}\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots ,\xi_N) \\
&=\hat{\sigma}_{ij}\sigma_{ij} \Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots \xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_N) \\
&=\sigma_{ij}^2\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots ,\xi_N)
\end{align*}
そもそもなのですが、この式は$i$と$j$を入れ替えてもどしただけなので、元の関数$\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots ,\xi_N)$と等しくなるはずです。つまり、
\begin{align*}
\sigma^2=1
\end{align*}
となります。この解は、
\begin{align*}
\sigma=\pm 1
\end{align*}
に限られます。さて、つまり、
\begin{align*}
\hat{\sigma}_{ij}\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots ,\xi_N)
=\pm \Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots \xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_N)
\end{align*}
ということで、粒子の入れ替えに対して波動関数の符号が変わらない場合、反転する場合があります。$\sigma=1$の場合がボソン、$\sigma=-1$の場合がフェルミオンです。
パウリの排他律を導く(?)
パウリの排他律は置換に対する波動関数の負号から示すことができます。もともとの状態の波動関数と$i,j$番目の粒子が入れ替わった状態の波動関数の関係は、\begin{align*}
\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots ,\xi_N)
=-\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots \xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_N)
\end{align*}
ここで、もし、$i,j$番目の粒子が同じ状態にあった場合、つまり、$i=j$とできる場合、
\begin{align*}
\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_i,\cdots,\xi_i,\cdots ,\xi_N)
=-\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots \xi_i,\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_N)
\end{align*}
左辺と右辺は同一の関数です。つまり、
\begin{align*}
\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_i,\cdots,\xi_i,\cdots ,\xi_N)=0
\end{align*}
が導かれます。同一の状態をもつフェルミオンは存在しえないということになります。これがパウリの排他律の示す内容です。これは原理として扱われることも多いですが、このように置換に対する変化から導かれる性質のひとつです。
スレーター行列式の導出
このように置換が奇置換であれば波動関数の符号が逆になり、偶置換であれば、符号が元に戻ります。ただし、置換を行う演算子$\hat{\sigma}_{ij}$は波動関数 $\Psi(\xi_1,\xi_2,\cdots ,\xi_N)$の固有演算子ではありません。なぜなら、添え字が対称化されていないからです。添え字の対称化を行うためには、$1$～$N$の数を可能な限りにすべてを入れ替えた状態の和を取る必要があります。つまり、新たな波動関数$\Phi$について、規格化定数を$A$として、\begin{align*}
\Phi=A\sum_{\text{all }\sigma}\textrm{sgn}{(\sigma)}\Psi(\xi_{\sigma(1)},\xi_{\sigma(2)},\cdots ,\xi_{\sigma(N)})
\end{align*}
ただし、ここで$\sigma$は$1$～$N$までのすべての数の置換を表しています。この右辺は行列式の定義ですね。多粒子波動関数$\Psi$に関して、1粒子波動関数$\psi_i(\xi_j)$を用いて、
\begin{align*}
\Psi(\xi_{\sigma(1)},\xi_{\sigma(2)},\cdots ,\xi_{\sigma(N)})
=\psi_1(\xi_{\sigma(1)})\psi_2(\xi_{\sigma(2)})\cdots \psi_N(\xi_{\sigma(N)})
\end{align*}
と考えれば、
\begin{align*}
\Phi=A
\begin{vmatrix}
\psi_1(\xi_1) & \psi_1(\xi_2) & \cdots & \psi_1(\xi_N) \\
\psi_2(\xi_1) & \psi_2(\xi_2) & \cdots & \psi_2(\xi_N) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\psi_N(\xi_1) & \psi_N(\xi_2) & \cdots & \psi_N(\xi_N)
\end{vmatrix}
\end{align*}
となります。次に規格化定数$A$を求めますが、
\begin{align*}
\int_{全空間}\Phi^*\Phi d^N\xi&= A^*A \int_{全空間}\sum_{\text{all }\sigma^\prime }\sum_{\text{all }\sigma}\text{sgn}(\sigma^\prime)\text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^N \psi^*_i(\xi_{\sigma^\prime(i)})\prod_{j=1}^N \psi_j(\xi_{\sigma(j)}) \\
&=|A|^2\sum_{\text{all }\sigma^\prime }\sum_{\text{all }\sigma}\text{sgn}(\sigma^\prime)\text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^N\prod_{j=1}^N \delta_{ij}\delta_{\sigma^\prime (i)\sigma(j)} \\
&=|A|^2\sum_{\text{all }\sigma^\prime }\sum_{\text{all }\sigma}\text{sgn}(\sigma^\prime)\text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^N \delta_{\sigma^\prime (i)\sigma(i)}
\end{align*}
ここで、$\prod_i\delta_{\sigma^\prime(i)\sigma(i)}$が1になるのは$\sigma$と$\sigma^\prime$が完全に一致しているときのみでその時は符号部分は必ず正になります。よって、
\begin{align*}
\int_{全空間}\Phi^*\Phi d^N\xi
&=|A|^2\sum_{\text{all }\sigma}1 \\
&=|A|^2 N! \\
&=1
\end{align*}
以上より、規格化定数は$A=1/\sqrt{N!}$と分かります。つまり、対称化された波動関数は、
\begin{align*}
\Phi=\dfrac{1}{\sqrt{N!}}
\begin{vmatrix}
\psi_1(\xi_1) & \psi_1(\xi_2) & \cdots & \psi_1(\xi_N) \\
\psi_2(\xi_1) & \psi_2(\xi_2) & \cdots & \psi_2(\xi_N) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\psi_N(\xi_1) & \psi_N(\xi_2) & \cdots & \psi_N(\xi_N)
\end{vmatrix}
\end{align*}
であり、これは置換演算子の固有状態になります。これがスレーター行列式です。