場の量子論⑭ 方程式のローレンツ不変性・共変性
ローレンツ不変性と共変性
前回，ゲージ変換をしたときにどのようにすれば方程式が不変になるか考えました．今回は同じように方程式を不変にしたいのですが，ローレンツ変換に対する不変性を考えます．ローレンツ変換での不変性・共変性の考え方
ローレンツ変換をアインシュタインの縮約記法を用いて書くと以下のようになります．\begin{align*}
x^{\prime\nu}=\Lambda^\nu{}_\mu x^\mu
\end{align*}
ローレンツ変換とは慣性系への座標の変換のことでした．特殊相対性原理では慣性系でも同様の物理法則，つまり，同じ形の方程式が成り立たなければいけません．以下で方程式の形が変わらないことを示します．
スカラー場のローレンツ変換
自由スカラー場を表すクライン・ゴルドン方程式は以下のように表されました．\begin{align*}
\left(\partial_\mu\partial^\mu+\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi(x)=0
\end{align*}
さて，ここで，ローレンツ変換をしたいわけですが，\(x^{\prime\nu}=\Lambda^\nu{}_\mu x^\mu\)に対して，反変ベクトル(上付きの添え字を持つ量)と共変ベクトル(下付きの添え字を持つ量)では変換性が異なります．今回は，微分項があるので，これに注目すると，
\begin{align*}
\partial_\mu&\to\partial^\prime_\mu=\partial_\nu(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu\\
\partial^\mu&\to\partial^{\prime\mu}=\partial^\nu\Lambda^\mu{}_\nu
\end{align*}
という変換性を持ちます．今回\(\nu\)は和をとってしまうダミー変数なので適当に置き換えると，変換後のクラインゴルドン方程式は
\begin{align*}
\left\{\partial_\nu (\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu \partial^\rho \Lambda^\mu{}_\rho+\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi(x^\prime)=0
\end{align*}
となります．この左辺を詳しく計算します．\(\Lambda\)は行列ではなくテンソルであり，順序入れ替え可能です．よって，
\begin{align*}
\left\{\partial_\nu \partial^\rho(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu \Lambda^\mu{}_\rho+\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\right\}\phi(x^\prime)=0
\end{align*}
さて，\(\mu\)で縮約が取れるのですが，\((\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu \Lambda^\mu{}_\rho=\delta^\nu{}_\rho\)を利用すると，
\begin{align*}
\partial_\nu \partial^\rho(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu \Lambda^\mu{}_\rho
&=\partial_\nu\partial^\rho\delta^\nu{}_\rho\\
&=\partial_\nu \partial^\nu
\end{align*}
となり，結局のところ方程式の形は変わらないですね．
マクスウェル方程式の共変性
マクスウェル方程式は相対論的に書くと以下のような形になります．ただし，透磁率と添え字の\(\mu\)は違うので注意してください．\begin{align*}
\partial_\mu F^{\mu\nu}-\mu j^\nu=0
\end{align*}
微分項はさきほどの変換に従います．4元電流密度について，この変換性は反変ベクトルなので，\(\partial^\mu\)と同じ変換になります．最後にテンソルについて，これはベクトルが二つあると考えればよくて，
\begin{align*}
F^{\mu\nu}\to F^{\prime\mu\nu}=F^{\rho\lambda}\Lambda^\mu{}_\rho \Lambda^\nu{}_\lambda
\end{align*}
これを用いると，マクスウェル方程式の左辺は
\begin{align*}
\partial_\xi (\Lambda^{-1})^\xi{}_\mu F^{\rho\lambda}\Lambda^\mu{}_\rho\Lambda^\nu{}_\lambda-\mu j^\sigma \Lambda^\nu{}_\sigma
&=\partial_\xi F^{\rho\lambda}\delta^\xi{}_\rho \Lambda^\nu{}_\lambda-\mu j^\sigma \Lambda^\nu{}_\sigma\\
&=\partial_\rho F^{\rho\lambda}\Lambda^\nu{}_\lambda-\mu j^\sigma\Lambda^\nu{}_\sigma\\
&=\partial_\rho F^{\rho\lambda}\Lambda^\nu{}_\lambda-\mu j^\lambda\Lambda^\nu{}_\lambda\\
&=(\partial_\rho F^{\rho\lambda}-\mu j^\lambda)\Lambda^\nu{}_\lambda\\
\end{align*}
となります．ローレンツ変換のテンソルでくくれば元の形が出てきました．全く同じ形ではないですけど，実質的には同じ形ですよね．よってこれを不変とつかいわけてローレンツ共変といいます．
ディラック方程式のローレンツ共変性
ディラック方程式は以下のように表されました．\begin{align*}
(i\hbar \gamma^\mu\partial_\mu-mc)\psi=0
\end{align*}
ここで，\(\psi\)はスピノルであり4成分をもつことに注意します．このスピノルを変換するには行列を用いる必要があります．先ほどまでは4成分がそれぞれ時間成分，座標成分を表していたのでローレンツ変換テンソルで変換を表せましたが，スピノルはそのように分けていないので
\begin{align*}
\psi(x)\to\psi^\prime(x^\prime)=S(\Lambda)\psi
\end{align*}
ローレンツ変換に依存する行列です．とりあえずガンマ行列は不変であるものとして考えておきましょう．
\begin{align*}
(i\hbar \gamma^\mu\partial_\nu (\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu-mc)S\psi=0
\end{align*}
この左辺について，以下のように変形しましょう．
\begin{align*}
(i\hbar(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu S^{-1}\gamma^\mu S\partial_\nu-mc)\psi=0
\end{align*}
ここで，この方程式がディラック方程式に対して共変であるためには，
\begin{align*}
(\Lambda^{-1})^\nu{}_\mu S^{-1}\gamma^\mu S=\gamma^\nu
\end{align*}
であればよいでしょう．これが変換行列\(S\)に課せられた要請です．