ベクトル解析⑥ 勾配・回転・発散
勾配・回転・発散の定義
ナブラを用いて勾配・回転・発散を定義します。勾配(gradient)の定義と計算方法
勾配の定義とは?
勾配
スカラー値関数$f$$=f(x,y,z)$に対して、
\begin{align*}
\text{grad}f\stackrel{def}{=}\nabla f=
{}^t\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} & \dfrac{\partial f}{\partial z}
\end{pmatrix}
\end{align*}
勾配の意味とは?
スカラー値関数の勾配はある点での変化の方向を表しているといえます。勾配が零(正確には零ベクトル)になる条件を考えると、\begin{align*}
\dfrac{\partial F_x}{\partial x}=
\dfrac{\partial F_y}{\partial y}=
\dfrac{\partial F_z}{\partial z}=0
\end{align*}
となります。
回転(rotation)の定義と計算方法
回転の定義とは?
回転
ベクトル値関数$\boldsymbol{F}$に対して、以下のように定義されます。
\begin{align*}
\text{rot}\boldsymbol{F}=\nabla\times\boldsymbol{F}=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial F_z}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial z} \\
\dfrac{\partial F_x}{\partial z}-\dfrac{\partial F_z}{\partial x} \\
\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}
\end{pmatrix}
\end{align*}
回転の意味
回転の意味が最も理解が難しいのですが、回転を求めた点周りに回転させる力のことです。発散(divergence)の定義と計算方法
発散の定義とは?
発散
ベクトル値関数$\boldsymbol{F}$に対して、以下のように定義されます。
\begin{align*}
\text{div}\boldsymbol{F}=\nabla\cdot\boldsymbol{F}=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial F_x}{\partial x} \\
\dfrac{\partial F_y}{\partial y} \\
\dfrac{\partial F_z}{\partial z}
\end{pmatrix}
\end{align*}
発散の意味とは?
発散は「湧き出し」の意味を持っています。ある点から湧き出してくる量を示しています。たとえば、連続の式\begin{align*}
\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol{j}=0
\end{align*}
の左辺第二項は流れの湧き出しを示しています。