相対性理論③ 特殊相対性理論・相対論的エネルギーの導出
相対論的エネルギーを導出する
相対性理論では質量の存在自身がエネルギーになるということが導けます。相対論的エネルギーの式の内容と意味
相対論的エネルギー
静止質量$m_0$と運動量$p$に対して、
\begin{align*}
E^2&=m_0^2c^4+p^2c^2 \\
E&=\gamma m_0c^2
\end{align*}
相対論的な運動方程式
Newtonの運動方程式は以下のようなものでした。\begin{align*}
m\dfrac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}=m\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\boldsymbol{F}
\end{align*}
さて、これを用いて、$f^\mu$を以下のように定めます。
\begin{align*}
m_0\dfrac{dv^\mu}{dt}=\dfrac{dp^\mu}{dt}=f^\mu
\end{align*}
まず、この式の表式を求めましょう。簡単のために速度は$x$軸方向に$V$として、区別するために4元速度は$v^\mu$のままで計算します。
\begin{align*}
f^\mu
&=\dfrac{d}{dt}(\gamma m_0 v^\mu) \\
&=m_0 \dfrac{d\gamma}{dt}v^\mu+m_0 \gamma \dfrac{dv^\mu}{dt} \\
\end{align*}
さて、ここで、
\begin{align*}
\dfrac{d\gamma}{dt}
&=\dfrac{d\beta}{dt}\dfrac{d}{d\beta}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\right) \\
&=\dfrac{1}{c}\dfrac{dV}{dt}\cdot\left(-\dfrac{\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\cdot(-2\beta)}{1-\beta^2}\right) \\
&=\dfrac{1}{c}\dfrac{dV}{dt}\dfrac{\beta}{(\sqrt{1-\beta^2})^3} \\
&=\dfrac{1}{c}\dfrac{dV}{dt}\dfrac{V}{c}\gamma^3 \\
&=\dfrac{\gamma^3V}{c^2}\dfrac{dV}{dt}
\end{align*}
これを用いると、
\begin{align*}
f^\mu = \dfrac{\gamma^3 m_0 V}{c^2}\dfrac{dV}{dt}v^\mu+\gamma m_0 \dfrac{dv^\mu}{dt}
\end{align*}
となります。
相対論的なエネルギー・静止エネルギーの導出
$f^\mu$の空間成分$\boldsymbol{f}$を線積分すれば古典力学的に仕事になるでしょう。 速度は$x$成分しかないので、\begin{align*}
\boldsymbol{f}\cdot d\boldsymbol{r}
&=\dfrac{\gamma^3 m_0 V}{c^2}\dfrac{dV}{dt}\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{r}+\gamma m_0 \dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}\cdot d\boldsymbol{r} \\
&=\dfrac{\gamma^3 m_0V}{c^2}\dfrac{dV}{dt}V\ dx+\gamma m_0 \dfrac{dV}{dt}dx \\
&=\dfrac{\gamma^3 m_0 V}{c^2}dV\ V \dfrac{dx}{dt}+\gamma m_0 dV\ \dfrac{dx}{dt} \\
&=\dfrac{\gamma^3 m_0 V^3}{c^2}dV+\gamma m_0 V\ dV \ \ \left(\because \dfrac{dx}{dt}=V\right) \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} m_0V\left\{\dfrac{V^2}{c^2\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)}+1\right\}\ dV \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}m_0 V\left(\dfrac{V^2}{c^2-V^2}+1\right) dV\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}m_0 V\left(\dfrac{c^2}{c^2-V^2}\right) dV \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}m_0 V\dfrac{1}{1-\frac{V^2}{c^2}} dV \\
&=\dfrac{1}{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}m_0 V dV
\end{align*}
右辺を速度が$0$から$v$まで積分したいのですが、複雑なので置換積分をします。$u=\dfrac{V^2}{c^2}$とすると、$du=\dfrac{2V}{c^2} dV$で
\begin{align*}
\int_0^v \dfrac{m_0 V}{\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}dV
&=\dfrac{m_0c^2}{2}\int_0^{\frac{v^2}{c^2}} \dfrac{1}{(1-u)^\frac{3}{2}}du \\
&=\left. \dfrac{m_0c^2}{2}\cdot(-2)(1-u)^{-\frac{1}{2}}\cdot(-1)\right|^{\frac{v^2}{c^2}}_0 \\
&=\left. m_0c^2(1-u)^{-\frac{1}{2}}\right|^{\frac{v^2}{c^2}}_0 \\
&=\gamma m_0c^2-m_0c^2
\end{align*}
つまり、速度が$v$のときはエネルギーが$\gamma m_0c^2$で速度が零でもエネルギー$m_0c^2$をもつということがわかります。
特に、速度が$v$のときのエネルギー$E$について、実は$E^2=m_0^2c^4+p^2c^2$という関係があるのでこれを示しますが、少しわざとらしい変形をしているので結果を先に示しました。
\begin{align*}
E^2&=\gamma^2 m_0^2c^4 \\
&=\dfrac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}m_0^2c^4 \\
&=\dfrac{c^2}{c^2-v^2}m_0^2c^4 \\
&=\left(1+\dfrac{v^2}{c^2-v^2}\right)m_0^2c^4 \\
&=m_0^2c^4+\left(\dfrac{v^2c^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)m_0^2 \\
&=m_0^2c^4+\gamma^2 m_0^2v^2c^2
\end{align*}
さて、ここで、4元運動量は、
\begin{align*}
p^\mu =\gamma m_0\begin{pmatrix}
c \\ \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt}
\end{pmatrix}
\end{align*}
なので、この空間成分$\boldsymbol{p}$は、
\begin{align*}
\boldsymbol{p}^2=\gamma^2m_0^2v^2
\end{align*}
となります。よって、
\begin{align*}
E^2=m_0^2c^4+p^2c^2
\end{align*}
となります。また、4元運動量の時間成分(第0成分)は$\gamma m_0 c=E$なので、
\begin{align*}
p^0=\dfrac{E}{c}
\end{align*}
といえます。運動エネルギーの導出
非相対論的範囲のNewton力学は速さ$v$が光速に比べて十分小さい場合に成り立つものでした。つまり、$m_{0}c^{2}\gg c|\boldsymbol{p}|$が成り立つので、1次までのテイラー展開によって、\begin{align*}E=p^{0}c&=\sqrt{(m_{0}c^{2})^{2}+(c\boldsymbol{p})^{2}}\\&\approx m_{0}c^{2}\left(1+\dfrac{\boldsymbol{p^{2}}}{2{m_{0}}^{2}c^{2}}\right)\\
\therefore E&\approx m_{0}c^{2}+\dfrac{\boldsymbol{p^{2}}}{2m_{0}}
\end{align*}
ところで、古典力学の運動エネルギーは、
\begin{align*}\dfrac{p^{2}}{2m}\end{align*}
と表せました。この式にとても似た形の式が導かれました。
\begin{align*}E=p^{0}c\approx m_{0}c^{2}+\dfrac{\boldsymbol{p^{2}}}{2m_{0}}\end{align*}
ということになります。もう一度、エネルギーの式をローレンツ因子$\gamma$を用いて表すと、
\begin{align*}E=\gamma m_{0}c^{2}\end{align*}
つまり、本来であれば、質量自身の増減がエネルギーなわけです。ただ、$c\gg v$のために、質量$m=\gamma m_{0}$の変化はかなり微小ですから、かわりに$v$の変化をエネルギーとして計算してきたわけです。