関数解析② ノルム空間とノルムの公理
ノルムの公理とは？
ノルムとはなにか？先に線形代数でベクトルの大きさを定義するためにノルムだけ紹介されたかもしれませんが、別にベクトルにしか適用できないわけではなく、一般にノルムとはどういうものか、定められています。ノルムとは何か？
ノルムの公理
線形空間$V$について、$x,y\in V$、また、絶対値が用意できる体$K$について、$\alpha \in K$を考えます。写像$\|\cdot \|:V\mapsto \mathbb{R}$について、
\begin{align}
\|x\| \geq 0, \|x\|=0 &\Leftrightarrow x=0 \\
\|\alpha x\|&=|\alpha|\|x\| \\
\|x+y\|&\leq \|x\|+\|y\|
\end{align}
これらをノルムの公理といい、$(V,\|\cdot \|)$をノルム空間といいます。