関数解析③ コーシー列
※分数に対して絶対値記号が表示できていないようです。原因究明中です。
日本語で言うなら...任意の正の$\varepsilon$について、$m,n\geq N$ならば$d(a_m,a_n)\lt \varepsilon$となるような$N$が存在する、ということになります。
この右辺には前々回の記事で導入した距離関数を用いていますが、これを絶対値やノルムなどの別のもので置き換えている場合もあります。
コーシー列とは
Cauchy列というものを定義します。コーシー列の定義
コーシー列
点列$\{a_n\}$について、
\begin{align*}
\forall \varepsilon \gt 0, \exists N; m,n\geq N\Rightarrow d(a_m,a_n)\lt \varepsilon
\end{align*}
が成り立つとき点列$\{a_n\}$をコーシー列といいます。
この右辺には前々回の記事で導入した距離関数を用いていますが、これを絶対値やノルムなどの別のもので置き換えている場合もあります。
コーシー列になる例
たとえば以下のように点列を定めましょう。\begin{align*}
a_n=\dfrac{1}{n}
\end{align*}
$d(x,y)=|x-y|$と選んだ時、これはコーシー列になります。
\begin{align*}
\forall \varepsilon \gt 0,\exists N;m,n\gt N\Rightarrow |a_m-a_n|\lt \varepsilon
\end{align*}
を示せばよいでしょう。$m,n\gt N \gt 0$なので、
\begin{align*}
|a_m-a_n|
&\leq \dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{n} \\
&\lt \dfrac{1}{m} \\
&\leq \dfrac{1}{N} \\
&\leq \varepsilon
\end{align*}
よって、$N=\left\lceil \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rceil\geq \dfrac{1}{\varepsilon}$とすれば、元の式が成り立つことがわかります。