関数解析④ 完備性
完備性とは？実数の完備性
完備性がこの先紹介するバナッハ空間を定義するのに、重要な性質になっています。完備の定義
完備性
任意のコーシー列が(考えている集合の中に)収束する場合、完備といいます。
\begin{align*}
a_n=\dfrac{1}{n}
\end{align*}
この収束先は0ですね。しかし、これは$a_n$では表せない値です。もし、正の有理数という集合の中でこのコーシー列を考えているならばその時には集合の中には収束しないので、正の有理数の集合は完備ではないです。
ただし、この話を実数の中で考えましょう。実数の中で$a_n$を考えれば、0という実数の要素に収束します。というわけで完備といえるでしょう。