関数解析⑤ バナッハ空間
バナッハ空間の定義とは
バナッハ空間の定義
バナッハ空間
完備なノルム空間をバナッハ空間といいます。
バナッハ空間の例
$[a,b]$で定義された連続関数の集合$C[a,b]$が適当なノルムについてバナッハ空間になります。さて、バナッハ空間になるといっても、ノルムはどう定義されているのか？というところまで決めなければいけません。よって、
① ノルムを定め、ノルムの公理を満たすことを確認する
② 完備性を確かめる
この二つの段階が必要です。
ノルムを定める
関数のノルムとして使われるのは例えば以下のようなものです。$x\in C[a,b]$に対して、\begin{align*}
\|x\|=\max_{t}|x(t)|
\end{align*}
このノルムに対して3公理を満たすことを示しましょう。
ノルムの半正値性について
\begin{align*}
\|x\|=\max_t |x(t)|\geq 0
\end{align*}
また、等号成立は明らかに$x(t)=0$という恒等的に0の関数のみになります。
斉次性について
たとえば、係数体として$\mathbb{C}$を選べば、$\alpha\in \mathbb{C}$に対して、\begin{align*}
\|\alpha x\|
&=\max_t |\alpha x(t)|\\
&=|\alpha|\cdot \max_t|x(t)|\\
&=|\alpha|\|x\|
\end{align*}
劣加法性について
$x,y\in C[a,b]$に対して、\begin{align*}
\|x+y\|
&=\max_t\left|x(t)+y(t)\right| \\
&\leq\max_t\left\{|x(t)|+|y(t)|\right\} \\
&\leq \max_t |x(t)|+\max_t |y(t)| \\
&=\|x\|+\|y\|
\end{align*}
となり、ノルムの公理は満たすことがわかりました。
完備性を示す
$C[a,b]$のCauchy列を$\{x_n(t)\}$とします。このCauchy列の収束先を$x_\infty (t)$とします。完備性を示すには$x_\infty(t)\in C[a,b]$,つまり、\begin{align*}
\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta; |t-t^\prime|\lt \delta\Rightarrow \|x_\infty(t)-x_\infty(t^\prime)\|\lt \varepsilon
\end{align*}
を示せばよいことになります。
コーシー列の条件を確認する
さて、$d(x,y)=\|x-y\|$として、$\{x_n(t)\}$はCauchy列なので、\begin{align*}
\forall \varepsilon \gt 0, \exists N\in \mathbb{N}; m,n\geq N\Rightarrow \|x_m(t)-x_n(t)\|\lt \varepsilon
\end{align*}
が成り立ちます。ここで、$n\to\infty$とすれば、
\begin{align}
\forall \varepsilon\gt 0,\exists N\in\mathbb{N};m\geq N\Rightarrow \|x_m(t)-x_\infty(t)\|\lt \varepsilon \label{eq:1}
\end{align}
さて、$m\geq N$について、
\begin{align*}
\|x_\infty(t)-x_\infty (t^\prime)\|
&=\|x_\infty(t)-x_m(t)+x_m(t)-x_m(t^\prime)+x_m(t^\prime)-x_\infty (t^\prime)\| \\
&\leq\|x_\infty (t)-x_m(t)\|+\|x_m(t)-x_m(t^\prime)+x_m(t^\prime)-x_\infty(t^\prime)\| \\
&\leq \|x_\infty(t)-x_m(t)\|+\|x_m(t)-x_m(t^\prime)\|+\|x_m(t^\prime)-x_\infty(t^\prime)\| \\
&\leq \|x_m(t)-x_\infty(t)\|+\|x_m(t)-x_m(t^\prime)\|+\|x_m(t^\prime)-x_\infty(t^\prime)\| \\
&\leq \varepsilon+\|x_m(t)-x_m(t^\prime)\|+\varepsilon\ \ \ (\because \eqref{eq:1})
\end{align*}
また、$x_m\in C[a,b]$であり、連続なので、
\begin{align*}
\forall \varepsilon^\prime \gt 0,\exists \delta\gt 0; |t-t^\prime|\lt \delta\Rightarrow \|x_m(t)-x_m(t^\prime)\|\lt \varepsilon^\prime
\end{align*}
なので、$2\varepsilon+\varepsilon^\prime$を改めて、$\varepsilon$と置き換えて、
\begin{align*}
\forall \varepsilon \gt 0,\exists \delta\gt 0; \|t-t^\prime\|\lt \delta \Rightarrow \|x_\infty(t)-x_\infty(t^\prime)\|\lt \varepsilon
\end{align*}
これで$x_\infty(t)\in C[a,b]$が示せました。以上で$[a,b]$で定義される連続関数の集合$C[a,b]$がノルム$\|x\|=\max_t|x(t)|$についてバナッハ空間になることが言えました。