関数解析⑥ 内積空間と内積の公理
内積の公理から内積空間を定義
内積というのはベクトルに限ったわけではなく、もっと一般に定義できるものです。内積の公理と内積空間の定義
さて、以下では内積の公理を紹介しますが、実は公理の定め方は物理と数学で異なります。内積の公理
線形空間$V$を考えます。$x,y\in V$,$\alpha\in K$($K$は係数体)とします。写像$\braket{\cdot,\cdot}$$:$$V\times V\mapsto \mathbb{C}$に対して、
\begin{align}
\braket{x,y_1+y_2}&=\braket{x,y_1}+\braket{x,y_2} \label{eq:1}\\
\braket{x,\alpha y}&=\alpha\braket{x,y} \label{eq:2}\\
\braket{x,x}\geq 0, \braket{x,x}=0&\Leftrightarrow \ x=0 \label{eq:3}\\
\braket{x,y}^*&=\braket{y,x} \label{eq:4}\\
\end{align}
を内積の公理といい、これが成り立つ$(V,\braket{\cdot,\cdot})$の組を内積空間といいます。
このサイトは一応物理メインなので後者を採用しました。
内積の例
複素ベクトルを考えてみましょう。$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\in \mathbb{C}^n$とします。つまり、\begin{align*}
\boldsymbol{a}&={}^t
\begin{pmatrix}
a_1,
a_2,
\cdots,
a_n
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{b}&={}^t
\begin{pmatrix}
b_1,
b_2,
\cdots,
b_n
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{c}&={}^t
\begin{pmatrix}
c_1,
c_2,
\cdots,
c_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
として、内積を以下のように定めます。
\begin{align*}
\braket{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}}
&=\sum_{i=1}^n a_i^*b_i
\end{align*}
このとき内積の公理を満たしていること(しっかり内積になっていること)を示します。
内積の公理の確認
まず一つ目の式\eqref{eq:1}について、\begin{align*}
\braket{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}
&=\sum_{i=1}^n a_i^*(b_i+c_i) \\
&=\sum_{i=1}^n a_i^*b_i+\sum_{i=1}^n a_i^*c_i \\
&=\braket{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}}+\braket{\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}}
\end{align*}
\eqref{eq:2}について、
\begin{align*}
\braket{\boldsymbol{a},\alpha\boldsymbol{b}}
&=\sum_{i=1}^n a_i^*\cdot\alpha b_i \\
&=\alpha \sum_{i=1}^n a_i^*b_i \\
&=\alpha\braket{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}}
\end{align*}
また、\eqref{eq:3}について、
\begin{align*}
\braket{\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}}
&=\sum_{i=1}^n a_i^* a_i \\
&=\sum_{i=1}^n |a_i|^2 \geq 0
\end{align*}
この等号成立は、すべての$i$について$a_i=0$が成り立つ場合に限ります。
\eqref{eq:4}について、
\begin{align*}
\braket{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}}^*
&=\left(\sum_{i=1}^n a_i^*b_i\right)^* \\
&=\sum_{i=1}^n a_i b_i^* \\
&=\sum_{i=1}^n b_i^* a_i \\
&=\braket{\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}}
\end{align*}
以上で内積の公理が確かめられました。