相対性理論⑩ 下付き添え字・テンソルの共変微分
下付き添え字の共変微分の導出
一般相対性理論では曲がった時空間を扱うため共変微分という操作が必要でした。前回は反変ベクトル(上付きの添え字)に対して定義したので、今回は下付きの添え字(共変ベクトル)に対して定義したのちに、テンソルの共変微分を紹介します。スカラー量の共変微分は？
スカラー量は基底によらない値なので、共変微分は普通の微分にすぐに置き換えることができます。\begin{align}
\nabla_\rho f=\partial_\rho f \label{eq:1}
\end{align}
上付き添え字の共変微分
次に上付き添え字の共変微分についてです。前回の記事で以下の式を紹介しました。\begin{align}
\nabla_\rho u^\mu(\xi)=\partial_\rho u^\mu(\xi)+\Gamma^\mu_{\ \rho\alpha}(\xi)u^\alpha(\xi) \label{eq:2}
\end{align}
この式と先ほどのスカラーの共変微分が普通の微分に変えられることを用いて下付き添え字に関しても共変微分を導きます。
下付き添え字の共変微分
上付きの$u^\mu$と下付きの$v_\mu$という量を考えます。\begin{align*}
u^\mu v_\mu
\end{align*}
はスカラーとなります。これを共変微分します。共変微分にライプニッツ則(積の微分法)が成り立つことを要請したので、
\begin{align}
\nabla_\rho (u^\mu v_\mu)
&=(\nabla_\rho u^\mu)v_\mu+u^\mu(\nabla_\rho v_\mu) \nonumber \\
&=(\partial_\rho u^\mu+\Gamma^\mu_{\ \alpha\rho}u^\alpha)v_\mu+u^\mu(\nabla_\rho v_\mu) \label{eq:3}
\end{align}
また、左辺はスカラーなので、
\begin{align}
\nabla_\rho(u^\mu v_\mu)
&=\partial_\rho(u^\mu v_\mu) \nonumber \\
&=(\partial_\rho u^\mu)v_\mu+u^\mu \partial_\rho v_\mu \label{eq:4}
\end{align}
\eqref{eq:3},\eqref{eq:4}を比べて方程式として$u^\mu (\nabla_\rho v_\mu)=$の形に解くと、
\begin{align*}
(\partial_\rho u^\mu)v_\mu+u^\mu\partial_\rho v_\mu
&=(\partial_\rho u^\mu+\Gamma^\mu_{\ \alpha\rho}u^\alpha)v_\mu+u^\mu(\nabla_\rho v_\mu) \\
u^\mu\partial_\rho v_\mu&=\Gamma^\mu_{\ \alpha\rho}u^\alpha v_\mu+u^\mu(\nabla_\rho v_\mu) \\
u^\mu(\nabla_\rho v_\mu)&=u^\mu \partial_\rho v_\mu-\Gamma^\mu_{\ \alpha\rho} u^\alpha v_\mu \\
u^\mu(\nabla_\rho v_\mu)&=u^\mu \partial_\rho v_\mu-\Gamma^\alpha_{\ \mu\rho}u^\mu v_\alpha \\
u^\mu(\nabla_\rho v_\mu)&=u^\mu (\partial_\rho v_\mu-\Gamma^\alpha_{\ \mu\rho} v_\alpha) \\
\therefore \nabla_\rho v_\mu&=\partial_\rho v_\mu-\Gamma^\alpha_{\ \mu\rho} v_\alpha
\end{align*}
下付き添え字の共変微分
\begin{align*}
\nabla_\rho v_\mu=\partial_\rho v_\mu-\Gamma^\alpha_{\ \mu\rho} v_\alpha
\end{align*}
テンソルの共変微分
さて、ここまで上付きと下付きの添え字の共変微分を紹介しましたが、最後にテンソルの共変微分を紹介しようと思います。上付きの添え字の数だけ接続係数をつけてもらえばよくて、テンソルの共変微分
\begin{align*}
\nabla_\rho {T^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_m}}_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_n}=\partial_\rho {T^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_m}}_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_n}+\sum_{i=1}^m {\Gamma^{\mu_i}}_{\alpha\rho}{T^{\mu_1\mu_2\cdots \alpha \cdots \mu_m}}_{\nu_1\nu_2\cdots \nu_n}-\sum_{j=1}^n {\Gamma^\alpha}_{\nu_i\rho}{T^{\mu_1\mu_2\cdots \mu_m}}_{\nu_1\nu_2\cdots\alpha\cdots \nu_n}
\end{align*}