相対性理論⑨ 上付き添え字の共変微分
共変微分・接続係数とは？
一般相対性理論では曲がった空間を扱っているので通常の微分が正しく定義できないということが起こります。その対処には基底ベクトルまで含めて考える必要がありまして...共変微分とはどのようなときに用いるのか
一般相対性理論では曲がった時空間を考えています。つまり、座標の基底ベクトルが一定ではないということがいえます。つまり、従来のようなユークリッド空間を前提とした微分の定義では計算ができなくなっています。
というわけで新たな微分の定義を用意します。
ベクトルと座標の関係
ベクトル$\boldsymbol{u}$というのは\begin{align}
\boldsymbol{u}=u^\mu \boldsymbol{e}_\mu \label{eq:1}
\end{align}
というように、基底に依存して展開されるものになります。ただ、物理量を表すベクトルは座標に依存しないですが、一般の教科書では$u^\mu$というように基底と切り離しているので共変微分の意味がよくわからなくなっていますが、この基底ベクトルも含めれば導出が可能になります。
共変微分の形
共変微分(の意味)
パラメータ$\xi$で表される曲線上の点$P(\xi)$と$Q(\xi+\varepsilon)$を考えます。基底$\boldsymbol{e}_\rho$方向の共変微分を以下のように定義します。ただし、$u^\mu_{Q\to P}$は点$Q$から点$P$に曲線に沿って平行移動したものです。
\begin{align}
\nabla_\rho \boldsymbol{u} \stackrel{def}{=}\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac{\boldsymbol{u}_{Q\to P}(\xi+\varepsilon)-\boldsymbol{u}(\xi)}{\varepsilon t^\rho} \label{eq:2}
\end{align}
また、共変微分に対して、ライプニッツ則(積の微分法)が成り立つことを要請しておきます。
基底の微分から接続係数を定義する
まずは共変微分を基底ベクトルに対して用いましょう。上で紹介した共変微分の定義をそのまま用いると、\begin{align}
\nabla_\rho \boldsymbol{e}_\mu=\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac{\left(\boldsymbol{e}_{Q\to P}\right)_\mu(\xi+\varepsilon)-\boldsymbol{e}_\mu(\xi)}{\varepsilon t^\rho} \label{eq:3}
\end{align}
この左辺を接続係数$\Gamma^\alpha_{\ \rho\gamma}$を以下のように定義します。
\begin{align*}
\boldsymbol{e}_\alpha(\xi)\Gamma^\alpha_{\ \mu\rho}(\xi)\stackrel{def}{=}\nabla_\rho\boldsymbol{e}_\mu
\end{align*}
一旦、\eqref{eq:3}の極限を無視して変形すると、
\begin{align}
\boldsymbol{e}_{Q\to P}(\xi+\varepsilon)=\boldsymbol{e}_\mu(\xi)+\varepsilon t^\rho \boldsymbol{e}_\alpha(\xi) \Gamma^\alpha_{\ \mu\rho}(\xi) \label{eq:4}
\end{align}
となります。
ベクトルの共変微分について考える
さて、\eqref{eq:2}に\eqref{eq:4}を代入してみます。\eqref{eq:1}を利用しながら計算します。\begin{align*}
\nabla_\rho \boldsymbol{u}
&=\lim_{\varepsilon \to 0}\dfrac{u^\mu(\xi+\varepsilon)\left(\boldsymbol{e}_{Q\to P}\right)_\mu(\xi+\varepsilon)-u^\mu(\xi)\boldsymbol{e}_\mu(\xi)}{\varepsilon t^\rho} \\
&=\lim_{\varepsilon\to 0}\dfrac{u^\mu(\xi+\varepsilon)\left\{\boldsymbol{e}_\mu(\xi)+\varepsilon t^\rho \boldsymbol{e}_\alpha(\xi) \Gamma^\alpha_{\ \mu\rho}(\xi)\right\}-u^\mu(\xi)\boldsymbol{e}_\mu(\xi)}{\varepsilon t^\rho} \\
&=\lim_{\varepsilon\to 0}\left\{\dfrac{u^\mu(\xi+\varepsilon)-u^\mu(\xi)}{\varepsilon t^\rho}\boldsymbol{e}_\mu(\xi)+u^\mu (\xi+\varepsilon)\boldsymbol{e}_\alpha(\xi)\Gamma^\alpha_{\ \mu\rho}(\xi)\right\} \\
&=(\partial_\rho u^\mu(\xi))\boldsymbol{e}_\mu(\xi)+u^\mu(\xi)\boldsymbol{e}_\alpha(\xi)\Gamma^\alpha_{\ \mu\rho}(\xi) \\
&=(\partial_\rho u^\mu(\xi))\boldsymbol{e}_\mu(\xi)+u^\alpha(\xi)\boldsymbol{e}_\mu(\xi)\Gamma^\mu_{\ \alpha\rho}(\xi)\ (\because \text{ダミー変数は文字変更可能で基底ベクトルの添え字をそろえた})\\
&=\left(\partial_\rho u^\mu(\xi)+\Gamma^\mu_{\ \alpha\rho}(\xi)u^\alpha(\xi)\right)\boldsymbol{e}_\mu(\xi)
\end{align*}
もし基底ベクトルが変化しないと定ベクトルと考えたら左辺は以下のようにできるでしょう。
\begin{align*}
\nabla_\rho \boldsymbol{u}=\nabla_\rho(u^\mu(\xi)\boldsymbol{e}_\mu(\xi))&=(\nabla_\rho u^\mu(\xi))\boldsymbol{e}_\mu(\xi)
\end{align*}
というわけで、実際は時空間が曲がっているので基底ベクトルも変化しますが、もし基底が変化しないと考えて変化をすべて$u^\mu$の変化におしつけると、
$u^\mu$の共変微分
\begin{align*}
\nabla_\rho u^\mu(\xi)=\partial_\rho u^\mu(\xi)+\Gamma^\mu_{\ \alpha\rho}(\xi)u^\alpha(\xi)
\end{align*}