相対性理論⑪ リーマン曲率テンソル
リーマン曲率テンソルとは
共変微分とは曲がった座標の基底ベクトルに対してされる微分で、非可換です。曲がっていないユークリッド空間であれば、微分は基本的には交換します。よって共変微分の交換関係を新たに「曲がり具合」として定義してやりましょう。リーマン曲率テンソルの定義
リーマン曲率テンソル${R_{abc}}^d$
$a$成分に沿った共変微分$\nabla_a$に対して、
\begin{align} (\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)T^d=-{R_{abc}}^d T^c
\label{eq:1} \end{align}
共変微分を計算する
前回までの記事内容になりますが、共変微分とはそもそも以下のようにできたのでした。
\begin{align*} \nabla_b T^d=\partial_b T^d+{\Gamma^d}_{\rho b}T^\rho
\end{align*}
さて、これをさらに$a$方向に共変微分すると、
\begin{align} &\nabla_a\nabla_b T^d \nonumber \\ &=\partial_a(\partial_b
T^d+{\Gamma^d}_{\rho b}T^\rho)+{\Gamma^d}_{\lambda a}(\partial_b
T^\lambda+{\Gamma^\lambda}_{\rho b}T^\rho) \nonumber \\ &=\partial_a\partial_b
T^d+\partial_a({\Gamma^d}_{\rho b})T^\rho+{\Gamma^d}_{\rho b}\partial_a
T^\rho+{\Gamma^d}_{\lambda a}\partial_bT^\lambda+{\Gamma^d}_{\lambda
a}{\Gamma^\lambda}_{\rho b}T^\rho \label{eq:2} \end{align}
さて、\eqref{eq:1}の左辺第二項は\eqref{eq:2}の$a,b$を入れ替えただけなので。
\begin{align} &\nabla_b\nabla_a T^d \nonumber \\ &=\partial_b\partial_a
T^d+\partial_b({\Gamma^d}_{\rho a})T^\rho+{\Gamma^d}_{\rho a}\partial_b
T^\rho+{\Gamma^d}_{\lambda b}\partial_aT^\lambda+{\Gamma^d}_{\lambda
b}{\Gamma^\lambda}_{\rho a}T^\rho \label{eq:3} \end{align}
ダミー変数をそろえる
さて、互いに消しあう文字が見えやすいように和を取るダミー変数を2つのダミー変数がある最後の項の$\lambda$以外$c$に統一して比べてみます。
\begin{align}
&\nabla_a\nabla_b T^d \nonumber \\ &=\partial_a\partial_b
T^d+\partial_a({\Gamma^d}_{c b})T^c+{\Gamma^d}_{c b}\partial_a
T^c+{\Gamma^d}_{c a}\partial_bT^c+{\Gamma^d}_{\lambda
a}{\Gamma^\lambda}_{c b}T^c \tag{\ref{eq:2}} \\
&\nabla_b\nabla_a T^d \nonumber \\
&=\partial_b\partial_a T^d+\partial_b({\Gamma^d}_{c
a})T^c+{\Gamma^d}_{c a}\partial_b T^c+{\Gamma^d}_{c
b}\partial_aT^c+{\Gamma^d}_{\lambda b}{\Gamma^\lambda}_{c a}T^c
\tag{\ref{eq:3}} \end{align}
\eqref{eq:2}-\eqref{eq:3}を計算します。$\partial_a\partial_bT^d=\partial_b\partial_aT^d$が成り立つこと、互いの第二項と第三項が打ち消しあうことに注意して、
\begin{align*}
&(\nabla_a\nabla_b-\nabla_b\nabla_a)T^d \\
&=-(\partial_b{\Gamma^d}_{ca}-\partial_a{\Gamma^d}_{cb}+{\Gamma^d}_{\lambda b}{\Gamma^\lambda}_{ca}-{\Gamma^d}_{\lambda a}{\Gamma^\lambda}_{cb})T^c
\end{align*}
これを\eqref{eq:1}と見比べて、
リーマン曲率テンソルの具体的な表示
\begin{align*}
{R_{abc}}^d=\partial_b{\Gamma^d}_{ca}-\partial_a{\Gamma^d}_{cb}+{\Gamma^d}_{\lambda b}{\Gamma^\lambda}_{ca}-{\Gamma^d}_{\lambda a}{\Gamma^\lambda}_{cb}
\end{align*}