相対性理論⑫ リッチテンソル・スカラー曲率

リッチテンソルとスカラー曲率の定義

リーマンテンソルからリッチテンソルとスカラー曲率を導くことができます。

リッチテンソルの定義

リッチテンソル$R_{\mu\nu}$

\begin{align*} R_{\mu\nu}={R_{\mu\alpha\nu}}^\alpha \end{align*}

リーマン曲率テンソルの添え字の2つを使って縮約を取っただけです。直感的な意味をつかむことが難しいです。

スカラー曲率の定義

スカラー曲率$R$

\begin{align*} R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} \end{align*}

スカラー曲率はリッチテンソルに計量テンソルを作用させて添え字をつぶしただけですね。

リッチテンソルの具体的表示

リーマン曲率テンソルは前回までの記事で以下のようにあらわされたのでした。

リーマン曲率テンソルの具体的な表示

\begin{align*} {R_{abc}}^d=\partial_b{\Gamma^d}_{ca}-\partial_a{\Gamma^d}_{cb}+{\Gamma^d}_{\lambda b}{\Gamma^\lambda}_{ca}-{\Gamma^d}_{\lambda a}{\Gamma^\lambda}_{cb} \end{align*}

さて、では、添え字を変えて和を計算します。

\begin{align} {R_{\mu\alpha\nu}}^\alpha &=\partial_\alpha {\Gamma^\alpha}_{\nu\mu}-\partial_{\mu}{\Gamma^\alpha}_{\alpha\nu}+{\Gamma^\alpha}_{\lambda \alpha}{\Gamma^\lambda}_{\nu\mu}-{\Gamma^\alpha}_{\lambda \mu}{\Gamma^\lambda}_{\nu\alpha} \label{eq:1} \end{align}

クリストッフェル記号の性質

\begin{align*} {\Gamma^\alpha}_{\mu\nu}={\Gamma^\alpha}_{\nu\mu} \end{align*}

を用いて、\eqref{eq:1}の第一項、第三項、第四項を変形すると、

\begin{align*} {R_{\mu\alpha\nu}}^\alpha &=\partial_\alpha {\Gamma^\alpha}_{\mu\nu}-\partial_\mu {\Gamma^\alpha}_{\alpha\nu}+{\Gamma^\alpha}_{\lambda\alpha}{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}-{\Gamma^\alpha}_{\lambda\mu}{\Gamma^\lambda}_{\alpha\nu} \\ \end{align*}

こうすると、第一項と第二項、第三項と第四項で$\alpha,\mu$を入れ替えればよいということになります。

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