相対性理論⑭ アインシュタインテンソル
アインシュタインテンソルを導出する
アインシュタインテンソルというものを導出しましょう。これは前回紹介したアインシュタイン-ヒルベルト作用から導出します。アインシュタインテンソルの定義
アインシュタインテンソル$G_{\mu\nu}$
リッチテンソル$R_{\mu\nu}$,スカラー曲率$R$、計量テンソル$g_{\mu\nu}$に対して
\begin{align*}
G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R
\end{align*}
アインシュタイン-ヒルベルト作用の変分
アインシュタイン-ヒルベルト作用は以下のようにあらわされます。ただし、$R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$を用いました。$c_g$は定数です。\begin{align*}
S_g=c_g\int g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\sqrt{-g}d^4x
\end{align*}
ここで、$g^{\alpha\beta}$に関する変分を取ります。
\begin{align}
\delta S_g
=c_g\int\left\{
\dfrac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial g^{\alpha\beta}}R_{\mu\nu}\sqrt{-g}
+g^{\mu\nu}\dfrac{\partial R_{\mu\nu}}{\partial g^{\alpha\beta}}\sqrt{-g}
+g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\dfrac{\partial \sqrt{-g}}{\partial g^{\alpha\beta}}
\right\}\delta g^{\alpha\beta}d^4x \label{eq:1} \\
\end{align}
\eqref{eq:1}の第一項について
文字がそろっているときのみ1になり、それ以外は0になるので以下のようにあらわせます。
\begin{align*}
\dfrac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial g^{\alpha\beta}}=\delta^\mu_\alpha \delta^\nu_\beta
\end{align*}
よって、第一項は以下のようにあらわせます。
\begin{align}
\dfrac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial g^{\alpha\beta}}R_{\mu\nu}\sqrt{-g}
&=\delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta R_{\mu\nu}\sqrt{-g} \nonumber \\
&=R_{\alpha\beta}\sqrt{-g} \label{eq:2}
\end{align}
\eqref{eq:1}の第三項について
まずは行列式と余因子行列、逆行列の関係を確認します。行列$g_{\mu\nu}$の余因子行列を$\tilde{g}^{\mu\nu}$とします。余因子行列をもとの行列の行列式で割ったものは元の行列の逆行列になる、という性質がありました。つまり、
\begin{align}
(g_{\mu\nu})^{-1}=g^{\mu\nu}=\dfrac{\tilde{g}^{\mu\nu}}{g} \label{eq:3}
\end{align}
辺々$g^{\alpha\beta}$で微分すると、$\tilde{g}^{\alpha\beta}$は$g^{\alpha\beta}$を含まないので、
\begin{align*}
\dfrac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial g^{\alpha\beta}}=-\dfrac{\tilde{g}^{\mu\nu}}{g^2}\dfrac{\partial g}{\partial g^{\alpha\beta}}
\end{align*}
左辺は$\delta^\mu_\alpha \delta^\nu_\beta$となります。
\begin{align*}
\delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta&=-\dfrac{\tilde{g}^{\mu\nu}}{g^2}\dfrac{\partial g}{\partial g^{\alpha\beta}}
\end{align*}
\eqref{eq:3}より、
\begin{align*}
\delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta&=-\dfrac{g^{\mu\nu}}{g}\dfrac{\partial g}{\partial g^{\alpha\beta}}
\end{align*}
この辺々に$g_{\gamma\mu}$をかけて、分母を払うと、
\begin{align*}
gg_{\gamma\alpha}\delta^\nu_\beta=-\delta_\gamma^\nu\dfrac{\partial g}{\partial g^{\alpha\beta}}
\end{align*}
よって、$g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$を用いて、
\begin{align}
-\dfrac{\partial g}{\partial g^{\alpha\beta}}\left(=\dfrac{\partial (-g)}{\partial g^{\alpha\beta}}\right)=gg_{\alpha\beta} \label{eq:4}
\end{align}
さて、ここで\eqref{eq:1}の第三項を計算すると、\eqref{eq:4}より、
\begin{align*}
g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\dfrac{\partial\sqrt{-g}}{\partial g^{\alpha\beta}}
&=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\dfrac{\partial\sqrt{-g}}{\partial (-g)}\dfrac{\partial(-g)}{\partial g^{\alpha\beta}} \\
&=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{-g}}gg_{\alpha\beta} \\
&=-\dfrac{1}{2}g_{\alpha\beta}g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\sqrt{-g}
\end{align*}
\eqref{eq:1}の第二項について結論からいうと全微分項になり0になります。リッチテンソルの式
\begin{align*}
R_{\mu\nu}
&={R_{\mu\alpha\nu}}^\alpha \\
&=\partial_\alpha {\Gamma^\alpha}_{\mu\nu}-\partial_\mu {\Gamma^\alpha}_{\alpha\nu}+{\Gamma^\alpha}_{\lambda\alpha}{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}-{\Gamma^\alpha}_{\mu\lambda}{\Gamma^\lambda}_{\alpha\nu} \\
\end{align*}
について、変分をとります。今度は式が複雑になるので先ほどとは別に$\delta$だけつけて変分を表します。
\begin{align*}
&\delta R_{\mu\nu}\\
&=\partial_\alpha (\delta{\Gamma^\alpha}_{\mu\nu})
-\partial_\mu (\delta{\Gamma^\alpha}_{\nu\alpha})
+(\delta{\Gamma^\alpha}_{\lambda\alpha}){\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}
+{\Gamma^\alpha}_{\lambda\alpha}(\delta{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu})
\\ &-(\delta{\Gamma^\alpha}_{\mu\lambda}){\Gamma^\lambda}_{\alpha\nu}
-{\Gamma^\alpha}_{\mu\lambda}(\delta{\Gamma^\lambda}_{\alpha\nu})
\\
&=\left\{\partial_\alpha (\delta{\Gamma^\alpha}_{\mu\nu})
+{\Gamma^\alpha}_{\lambda\alpha}(\delta{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu})
-{\Gamma^\lambda}_{\nu\alpha}(\delta{\Gamma^\alpha}_{\mu\lambda})
-{\Gamma^\lambda}_{\mu\alpha}(\delta{\Gamma^\alpha}_{\lambda\nu}) \right\}
\\
&-\{\partial_\mu (\delta{\Gamma^\alpha}_{\nu\alpha})
-{\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}(\delta{\Gamma^\alpha}_{\lambda\alpha})\} \\
&=\nabla_\alpha(\delta {\Gamma}^\alpha_{\mu\nu})-\nabla_\mu(\delta{\Gamma}^\alpha_{\nu\alpha})
\end{align*}
さて、このさき、$\int \partial_\mu V^\mu d^4x$の形まで持っていかなければいけないのですが、複雑なので一旦ここでやめておきます。とりあえず、なんとなく表面項になって消えることがわかればOKです。
アインシュタイン-ヒルベルト作用の変分をまとめる
\eqref{eq:1}の第二項が表面項となっておちること、\eqref{eq:2},\eqref{eq:4}を用いれば、\begin{align}
\delta S_g
&=c_g\int\left\{
\dfrac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial g^{\alpha\beta}}R_{\mu\nu}\sqrt{-g}
+g^{\mu\nu}\dfrac{\partial R_{\mu\nu}}{\partial g^{\alpha\beta}}\sqrt{-g}
+g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\dfrac{\partial \sqrt{-g}}{\partial g^{\alpha\beta}}
\right\}\delta g^{\alpha\beta}d^4x \tag{\ref{eq:1}} \\
&=c_g\int\left(R_{\alpha\beta}-\dfrac{1}{2}g_{\alpha\beta}R\right)\sqrt{-g}\delta g^{\alpha\beta}d^4x
\end{align}
ここで、この中身を$G_{\alpha\beta}$とおくと、
\begin{align*}
G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R
\end{align*}
というアインシュタインテンソルが導かれます。