相対性理論⑳ シュワルツシルト解
シュワルツシルト解とは？
アインシュタイン方程式のもっとも簡単な解のひとつであるシュワルツシルト解について紹介します。計算過程が大変煩雑なので過程は省略しますが...シュワルツシルト解の設定
原点に質量$M$の物体があることを設定します。それ以外は真空でよって球座標を導入します。\begin{align*}
x&=r\cos{\phi}\sin{\theta} \\
y&=r\sin{\phi}\sin{\theta} \\
z&=r\cos{\theta}
\end{align*}
という座標を設定します。
シュワルツシルト計量
シュワルツシルトにより導かれた計量は以下のようになります。\begin{align*}
ds^2=-\left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right)c^2 dt^2+\left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2{\theta}d\phi^2)
\end{align*}
さて、ここで半径成分に特異点が出現しました。というわけでこの点に何か意味があるのか？
ということなのですが、ブラックホールの半径がこの特異点、という見方が一般的です。
つまり、質量$M$の物体が
\begin{align*}
r=\dfrac{2GM}{c^2}
\end{align*}
の半径以下になるとがブラックホールになるのでは、とみることができます。