統計力学⑩ ボーズ-アインシュタイン分布関数
ボーズ・アインシュタイン分布関数とは？
ボソンに対する分布関数を紹介します。今回は同じ状態を複数の粒子がとることができます。ボーズ・アインシュタイン分布関数の表式は？
ボーズ・アインシュタイン分布関数
エネルギーが$\varepsilon$、化学ポテンシャルが$\mu$の系でエネルギー$\varepsilon$の準位に入る粒子の数は
\begin{align*}
f(\varepsilon)=\dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}-1}
\end{align*}
ボーズ・アインシュタイン分布関数の導出
この場合の大分配関数を計算します。いま、系がとりうる状態に順番に番号を付けていき、$i$番目の状態を考えます。系の全エネルギーは$E_i$,粒子数は$N_i$とします。ある準位$j$の1粒子エネルギーを$\varepsilon_j$とします。また、その準位$j$にある粒子数を$n_j$とします。そのとき、状態$i$の全エネルギーは$E_j=\sum_j n_j \varepsilon_j$(すべての準位に関して粒子数と一粒子エネルギーの積の和)と表せます。また、状態$i$の全粒子数は$N_i=\sum_j n_j$となります。大分配関数は、
\begin{align*}
Z_G&=\sum_{\{n_i\}} e^{-\beta(E_i-N_i\mu)} \\
&=\sum_{\{n_i\}} e^{-\beta(\sum_j n_j\varepsilon_j-\sum_j n_j\mu)} \\
&=\sum_{\{n_i\}} e^{-\beta\sum_jn_j(\varepsilon_j-\mu)} \\
&=\sum_{\{n_i\}}\prod_{j} e^{-\beta n_j (\varepsilon_j-\mu)}
\end{align*}
さて、$\{n_i\}$というのは取りうるすべての$n_i$の配列についての和です。
今回難しいところはどの準位も粒子数が何個でも許されるということです。この大分配関数がうまく計算できる方法はないでしょうか？
とにかく取りうるすべての状態について和を実行すればよいので、先に粒子数について0から無限大まで動かして、そのあとエネルギー準位を変えていくという戦術をとってもいいでしょう。端的に言うと、和と積が交換できて
\begin{align*}
Z_G
&=\prod_j\sum_{n_i=0}^\infty e^{-\beta n_j(\varepsilon_j-\mu)} \\
&=\prod_j\dfrac{1}{1-e^{-\beta(\varepsilon_j-\mu)}}
\end{align*}
大分配関数と粒子数の関係
グランドポテンシャル$\Omega$と大分配関数$Z_G$と、粒子数$N$の間には、\begin{align*}
\Omega&=-\dfrac{1}{\beta}\ln{Z_G} \\
N&=-\dfrac{\partial\Omega}{\partial \mu}
\end{align*}
という関係がありました。これらの式から粒子数を計算すると、
\begin{align*}
N&=\dfrac{1}{\beta}\dfrac{\partial}{\partial \mu}\left(\ln{Z_G}\right) \\
&=\dfrac{1}{\beta}\dfrac{\partial}{\partial \mu}\left(\ln{\prod_j \dfrac{1}{1-e^{-\beta(\varepsilon_j-\mu)}}}\right) \\
&=-\dfrac{1}{\beta}\dfrac{\partial}{\partial \mu}\sum_j \ln{\left\{1-e^{-\beta(\varepsilon_j-\mu)}\right\}} \\
&=-\dfrac{1}{\beta}\sum_j\dfrac{-\beta e^{-\beta(\varepsilon_j-\mu)}}{1-e^{-\beta(\varepsilon_j-\mu)}} \\
&=\sum_j\dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon_j-\mu)}-1}
\end{align*}
この式を考えるとエネルギー準位$j$を取る粒子数$f_{BE}(\varepsilon_j)$は
\begin{align*}
f_{BE}(\varepsilon_j)=\dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon_j-\mu)}-1}
\end{align*}
となります。これがボーズ・アインシュタイン分布関数です。