微分積分⑯ 広義積分
広義積分の収束と計算法
先に広義積分の判定条件だけ紹介して、そのあとに説明を加えようと思います。広義積分の判定条件
広義積分といっても特異点をもつものや、無限大の範囲までの積分などありますが、まとめて紹介します。広義積分の収束条件
優関数による評価法$[a,b)$で連続な関数$f$,$g$について、
\begin{align*}
0\leq f(x) \leq g(x) \text{かつ}\int_a^b g(x)dx \text{が収束する}\Rightarrow \int_a^b f(x)dx\text{も収束する}
\end{align*}
比による比較・無限大までの積分$[\xi,\infty)$で連続な関数$f$について
\begin{align*}
\dfrac{f(x)}{x^{-\alpha}}\text{が収束する}\alpha \gt 1\text{が存在する}\Rightarrow \int_\xi^\infty f(x)dx\text{も収束する}
\end{align*}
比による比較・特異点までの積分$[a,b)$で連続な$x=b$で特異点を持つ関数$f$について、
\begin{align*}
\dfrac{g(x)}{(x-b)^{-\beta}}\text{を満たす}0\lt \beta \lt 1\text{が存在する}\Rightarrow \int_a^b f(x)dx\text{も収束する}
\end{align*}
広義積分とは?通常の積分との違い
大雑把に言うと積分範囲で無限大や特異点など定義できない点が現れるような積分です。 例えば\begin{align*}
\displaystyle \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^{3}}dx \label{problem1}
\end{align*}
これは範囲に無限大を含んでいるので普通の積分であることは明らかでしょう。
\begin{align*}
\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{1}{\sqrt{(3-x)(x-1)}}dx \label{problem2}
\end{align*}
これは被積分関数の定義域が$1\lt x\lt 3$なので普通に積分することは不可能だということはわかると思います。
広義積分の簡単な計算方法
自然に計算できる方法を紹介します。途中極限の入れ替えなどがかなり乱暴ですが...やはり、いったん文字を置いて積分を計算したのちにその文字の極限を取ればよいでしょう。\begin{align*}
\displaystyle \int_{1}^{\infty} \dfrac{1}{x^{3}}dx
&=\lim_{N\to\infty}\int_{1}^{N}\dfrac{1}{x^{3}}dx\\ \displaystyle
&=\lim_{N\to\infty} \left[-\dfrac{1}{2x^{2}}\right]^{N}_{1}\\
&=\lim_{N\to\infty} \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2N^{2}}\right)\\
&=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
こんな具合です。この操作はわかりやすいのではないでしょうか。
次に。
\begin{align*}
\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{1}{\sqrt{(3-x)(x-1)}}dx=\int_{1}^{3} \dfrac{1}{\sqrt{1-(x-2)^{2}}}dx
\end{align*}
これは以下のように変形できるでしょう
\begin{align}
\displaystyle \lim_{h_{1}\to 0}\lim_{h_{2}\to 0}\int_{1+h_{1}}^{3-h_{2}}\dfrac{1}{\sqrt{1-(x-2)^{2}}}dx \label{eq:1}
\end{align}
普通、被積分関数の分母は$x-2$を三角関数でおきますね。もちろん逆三角関数の微分としてとらえて計算しても大丈夫です。(参考:双曲線関数・逆三角関数の微分・積分)
\begin{align*}x-2=\sin{\theta}\end{align*}
このようにおくと、
\begin{align*}dx=\cos{\theta}\ d\theta\end{align*}
積分範囲は
\begin{align*}
-\dfrac{\pi}{2}+h'_{1}\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}-h'_{2}
\end{align*}
$h'$は極限操作で飛ばすので適当な微小な文字ということで置いておきましょう。よって、$\eqref{eq:1}$式は、
\begin{align*}
\displaystyle \lim_{h'_{1}\to +0}\lim_{h'_{2}\to +0}\int_{-\frac{\pi}{2}+h'_{1}}^{\frac{\pi}{2}-h'_{2}}\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}{\theta}}}\cos{\theta}\ d\theta=\pi
\end{align*}
ちなみに、この積分は慣れていないうちは $x=2$で分けて計算するとやりやすくなると思います。($x=2$は特異点ではないので極限の扱いもあまり気にしなくて良くなりますから。)
広義積分の収束
広義積分の収束と書きましたが、積分結果が収束しないときには広義積分が存在しないといいます。実はこの広義積分が存在するかどうか判定することは結構重要です。もし計算して有限の値が出てきてしまえばその広義積分は存在するといっていいのですが、 ところで広義積分が存在することだけ言いたければどうすればいいのでしょうか。 それには、優関数による比較、比による比較 があります。
優関数による評価方法
\begin{align*}
\displaystyle \int_{1}^{\infty} e^{-x^{2}}dx
\end{align*}
この広義積分が存在することだけを示すことにします。
$1\leq x\leq \infty$の範囲で
\begin{align*}
e^{-x^{2}}\leq e^{-x}
\end{align*}
が常に成り立っているので、辺々を積分すれば、
\begin{align*}
\displaystyle \int_{1}^{\infty} e^{-x^{2}}dx\lt \int_{1}^{\infty}e^{-x}dx=\dfrac{1}{e}
\end{align*}
ただし、等号は常には成り立たないので、等号を外しました。明らかに広義積分が収束(存在)していますね。
比による評価方法
比による比較～無限大までの積分
優関数による比較とやるべきことは同じです。ここでは、無限大までの積分を考えます。ある定数$\xi$に対して、$\xi\leq x$で定義された関数$f(x)$の広義積分\begin{align*}
\displaystyle \int_{\xi}^{\infty} f(x)dx
\end{align*}
を考えます。
この広義積分は
\begin{align*}
\dfrac{f(x)}{x^{-\alpha}}
\end{align*}
が収束するような $\alpha\gt 1$となる$\alpha$が存在するならば収束します。証明は簡単です。
\begin{align*}
\dfrac{f(x)}{x^{-\alpha}}
\end{align*}
の最大値を$C$とおきます。つまりこういうこと。
\begin{align*}
\dfrac{f(x)}{x^{-\alpha}}\leq C
\end{align*}
ここで分母を払うと、
\begin{align*}
f(x)\leq Cx^{-\alpha}
\end{align*}
辺々積分することで、
\begin{align*}
\displaystyle \int_{\xi}^{\infty} f(x)dx \leq \int_{\xi}^{\infty}Cx^{-\alpha}
\end{align*}
ちなみに、右辺は$\alpha \gt 1$で収束します。$C$は定数より積分の外に出して、積分の部分のみ計算すると、$\alpha \gt 1$のとき、$x^{-\alpha+1}\to 0$$(x\to \infty)$なので、
\begin{align*}
\displaystyle C\int_{\xi}^{\infty} x^{-\alpha}dx=C\left[\dfrac{x^{-\alpha+1}}{-\alpha +1}\right]^{\infty}_{\xi}=\dfrac{C}{\alpha -1}\xi^{-\alpha+1}
\end{align*}
となり、右辺が収束することが言えたので、$f(x)$の広義積分も収束することになります。
比による比較・特異点までの積分
次に特異点(分母が$0$になるようなところ)を含む積分を考えます。たとえば $a\leq x\lt b$で定義された関数$g(x)$について\begin{align*}
\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx
\end{align*}
この広義積分について
\begin{align*}
\dfrac{g(x)}{(x-b)^{-\beta}}
\end{align*}
が収束するような $0\lt \beta\lt 1$ を満たす$\beta$が存在するならば、広義積分は収束します。証明は先ほどと同様です。この比の最大値を$C$とおいて、
\begin{align*}
\dfrac{g(x)}{(x-b)^{-\beta}}\leq C
\end{align*}
分母を払って
\begin{align*}
f(x)\leq C(x-b)^{-\beta}
\end{align*}
辺々積分することで
\begin{align*}
\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) dx \leq C\int_{a}^{b}(x-b)^{-\beta}
\end{align*}
ここでまた右辺は$0\lt \beta\lt 1$で収束します。計算は以下の通りです。
\begin{align*}
\displaystyle C\int_{a}^{b}(x-b)^{-\beta}dx&=C\left[\dfrac{1}{-\beta+1}(x-b)^{-\beta+1}\right]^{b}_{a}\\ &=\dfrac{C}{\beta-1}(a-b)^{-\beta+1}
\end{align*}
比を用いた収束することの示し方の例題
簡単に収束することを示せといいましたが、具体的にどうやって示せばいいのでしょうか。ここで使うのがマクローリン展開です。 たとえば、\begin{align*}
\displaystyle \int_{1}^{\infty} e^{-x}dx
\end{align*}
という、さきほど優関数比較で使用したこの広義積分の収束を示そうと思います。
$\alpha(\geq 1)$に対して$e^{-x}をx^{-\alpha}$で割ってそれが収束することを示します。
ここで、$\alpha$について、1より大きければ何でもいいですが、整数のほうがやりやすそうなので一般に2を選びましょう。つまり、
\begin{align*}
\displaystyle \dfrac{e^{-x}}{x^{-2}}
\end{align*}
この式が$x\to\infty$で収束することを示しましょう。ここで分母が多項式でないのでマクローリン展開したいのですが、ここで一つ不都合があります。たとえば、このまま展開すると、
\begin{align*}\dfrac{1-\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^{2}-\cdots}{x^{-2}}\end{align*}
分子が$\infty-\infty$を繰り返す不定形になってうっとうしいですね。
というわけで、$e$を分母に移してやります。
\begin{align*}
\dfrac{e^{-x}}{x}&=\dfrac{1}{x^{-2}e^{x}}\\
&=\dfrac{1}{x^{-2}\left(1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^{2}+\cdots \right)}\\
&=\dfrac{1}{x^{-2}+x^{-1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}x+\cdots }\to 0\ (x\to\infty)
\end{align*}
これで収束が示せました。というわけで先ほどの説明からこの級数が収束することがわかります。
ちなみに広義積分はガンマ関数やベータ関数などの計算に必要になります。