関数解析⑧ コーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式の証明と意味
コーシー・シュワルツの不等式、またはシュワルツの不等式などといわれますが、その証明を紹介します。線形代数や高校数学でも紹介されていることも多いですが、より抽象的に広範囲に応用できる形で証明を書きます。コーシー・シュワルツの不等式の内容
コーシー・シュワルツの不等式
線形空間$H$を考えます。任意の$x$,$y$$\in H$について、
\begin{align}
|\braket{x,y}|^2\leq \|x\|^2 \|y\|^2
\end{align}
コーシー・シュワルツの不等式の証明
ノルムの正定値性から
ノルムの正定値性と二次不等式に対する判別式を用います。$\alpha$$\in\mathbb{C}$として計算を進めます。いま、物理の慣習に従って、内積の線形性は右側の項に課していることに注意してください。(数学的には左側に線形性を課すことが多いです。)つまり、$\braket{x,\alpha y}$$=\alpha\braket{x,y}$だとか、$\braket{x,y+z}$$=\braket{x,y}$$+\braket{x,z}$のようになります。
\begin{align*}
\|x+\alpha y\|^2
&=\braket{x+\alpha y,x+\alpha y} \\
&=\braket{x+\alpha y,x}+\alpha\braket{x+\alpha y,y} \\
&=\braket{x,x+\alpha y}^*+\alpha\braket{y,x+\alpha y}^* \\
&=(\braket{x,x}+\alpha\braket{x,y})^*+\alpha(\braket{y,x}+\alpha\braket{y,y})^* \\
&=\braket{x,x}+\alpha^*\braket{x,y}^*+\alpha\braket{y,x}^*+\alpha\alpha^*\braket{y,y}^* \\
&=\braket{x,x}+\alpha^*\braket{y,x}+\alpha\braket{x,y}+|\alpha|^2\braket{y,y}^* \\
&=\|x\|^2+(\alpha\braket{x,y})^*+\alpha\braket{x,y}+|\alpha|^2\|y\|^2 \\
&=\|x\|^2+2\text{Re}(\alpha\braket{x,y})+|\alpha|^2\|y\|^2
\end{align*}
ここで、ノルムの正定値性から$\|x+\alpha y\|^2$$\geq 0$なので、
\begin{align*}
\|x\|^2+2\text{Re}(\alpha\braket{x,y})+|\alpha|^2\|y\|^2\geq 0
\end{align*}
となります。さて、一旦、ここで手詰まりな感じがします。ここで変わった手段を問おうと思います。
実数係数の二次不等式に帰着させる
ノルムは非負という性質がありました。ちなみに、正だとか負だとか議論できるのは実数だからです。また、絶対値も非負、ということは実ですね。さて、すべて実数なわけですが、さっき導いた以下の式の第二項だけ扱いが面倒ですね。\begin{align*}
\|x\|^2+2\text{Re}(\alpha\braket{x,y})+|\alpha|^2\|y\|^2\geq 0
\end{align*}
この実数を表す$\text{Re}$を使わないようにあらわしてあげます。そのうえで二次不等式の問題に帰着させます。たとえば、$t$$\in\mathbb{R}$として、
\begin{align*}
\alpha=t\braket{x,y}^*
\end{align*}
とおくと、
\begin{align*}
\text{Re}(t\braket{x,y}^*\braket{x,y})&=t|\braket{x,y}|^2
\end{align*}
となります。内積はただのスカラーになるので、絶対値で表せば大丈夫です。以下の式が得られます。
\begin{align*}
|\braket{x,y}|^2\|y\|^2t^2+2|\braket{x,y}|^2t+\|x\|^2\geq 0
\end{align*}
ちなみに、左辺は$\|x+\alpha y\|^2$で、$\alpha$$=t\braket{x,y}^*$とおいたものを計算しただけなので、この不等号は必ず成り立たなければなりません。つまり、この$t$についての2次不等式が常に成り立つような条件を求めましょう。判別式$D$は、
\begin{align*}
\dfrac{D}{4}=|\braket{x,y}|^4-\|x\|^2\|y\|^2|\braket{x,y}|^2
=|\braket{x,y}|^2\left(|\braket{x,y}|^2-\|x\|^2\|y\|^2\right)
\end{align*}
で、常に不等式が成り立つ条件$D$$\lt 0$を課すと、$|\braket{x,y}|^2$$\geq 0$より、カッコの中身だけが残って、
\begin{align*}
|\braket{x,y}|^2-\|x\|^2\|y\|^2\leq 0
\end{align*}
となり、欲しかった不等式が得られました。