微分積分① ロルの定理
ロルの定理の証明
前提条件：最大値・最小値の定理
最大値最小値の定理
有界な閉区間$[a,b]$($a$,$b$$\in$$\mathbb{R}$)て定義された連続関数$f$について、最大値と最小値が存在する。
ロルの定理とは？
ロルの定理
$f$を閉区間$[a,b]$で連続かつ$(a,b)$で微分可能な関数とする。
\begin{align*}
f(a)=f(b) \Rightarrow f^\prime(c)=0, a\lt c \lt b\text{を満たす}c\text{が存在する}
\end{align*}
ロルの定理の証明
まずは、$f$が定数関数の場合と、それ以外の場合に分けて証明します。定数関数の場合
$f(x)$が定数関数の場合には、\begin{align*}
f^\prime(x)=0
\end{align*}
が常に成り立ちます。$a\lt$$c$$\lt b$となる$c$は定義域内にあるので、
\begin{align*}
f^\prime(c)=0
\end{align*}
となります。
定数関数でない場合
以下では微小な量$h$を考えて進めます。端点が最大値にならない場合
$f(a)$$=f(b)$が最大値でない場合、最大値を取る座標を$x=\xi$とすると\begin{align*}
a\lt \xi \lt b
\end{align*}
となります。このとき、$\xi+h$$\in [a,b]$をみたす$h$が取れて、
\begin{align*}
f(\xi+h)\leq f(\xi)
\end{align*}
辺々$f(\xi)$をひいて、$h$で割ります。$h$$\gt$$0$のとき、
\begin{align*}
\dfrac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}\leq 0
\end{align*}
が成り立ちます。最後に$h$$\to +0$の極限を取れば、仮定より$x$$=\xi$で微分可能なので、
\begin{align*}
\lim_{h\to +0}\dfrac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}=f^\prime(\xi)\leq 0
\end{align*}
となります。また、$h$$\lt 0$の時には、
\begin{align*}
\lim_{h\to -0}\dfrac{f(\xi+h)-f(\xi)}{h}=f^\prime(\xi)\geq 0
\end{align*}
さて、以上で、$f^\prime(\xi)$$\leq 0$かつ$f^\prime(\xi)$$\geq 0$が得られました。つまり、これを満たすのは$f^\prime(\xi)$$=0$となります。
端点が最小値にならない場合
区間内のどこかで、最小値を取る点が存在するのでその点に関して同じ作業をすれば大丈夫です。連続関数を分けると以上に分けた場合のどれかにあたるので、これでロルの定理が示せました。