微分積分⑫ 多変数のテイラー展開・マクローリン展開
多変数関数のテイラー展開・マクローリン展開
前提：1変数のテイラー展開の公式
1変数の場合のテイラー展開配下のようにあらわされたのでした。1変数関数のテイラー展開
以下の式の右辺を$x=a$まわりのテイラー展開といいます。
この式は左辺と右辺について、$x$$=a$での$n$次の微分係数が等しくなるように多項式を定めたのでした。この考えにのっとれば多変数への拡張もできます。(参考:1変数のテイラー展開・マクローリン展開)
\begin{align*}
f(x)&=f(a)+\dfrac{1}{1!}f'(a)(x-a)+\dfrac{1}{2!}f''(a)(x-a)^{2}+\cdots\\\
\displaystyle\\ &=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{k!}f^{(k)}(a)(x-a)^{k}\end{align*}
2変数のテイラー展開の公式
2変数関数のテイラー展開
点$(a,b)$周りのテイラー展開は以下の様に計算できます。
たとえば、この右辺を$x$で偏微分してみると、
\begin{align*}
f(x,y)=f(a,b)+\dfrac{1}{1!}\left(\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(a,b)}(x-a)+\left. \dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{(a,b)}(y-b)\right)+\dfrac{1}{2!}\left(\left. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right|_{(a,b)}(x-a)^2+2\left. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right|_{(a,b)}(x-a)(y-b)+\left. \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right|_{(a,b)}(y-b)^2\right)
\end{align*}
\begin{align*}
\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(a,b)}+\dfrac{1}{1!}\left(\left. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right|_{(a,b)}(x-a)+\left. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right|_{(a,b)}(y-b)\right)+\cdots
\end{align*}
となり、$x$$=a$とすると、最初の項だけ残って、元の偏微分係数がでてきます。
つまり、偏微分係数だけ等しくなるように多項式で表現した、という感じです。以下で具体的に計算します。
2変数関数のテイラー展開例題
以下の関数を原点周りで3次までテイラー展開(マクローリン展開)しましょう。\begin{align*}
f(x,y)=\sin{(2x+y)}
\end{align*}
この関数の原点での1階の偏微分係数は、以下のようになります。
\begin{align*}
\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=\left.2\cos{(2x+y)}\right|_{(0,0)}=2 \\
\left. \dfrac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,0)}=\left.\cos{(2x+y)}\right|_{(0,0)}=1
\end{align*}
また、2階導関数については、
\begin{align*}
\left. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right|_{(0,0)}&=\left.-4\sin{(2x+y)}\right|_{(0,0)}=0 \\
\left. \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right|_{(0,0)}&=-\left.2\sin{(2x+y)}\right|_{(0,0)}=0 \\
\left. \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right|_{(0,0)}&=-\left.\sin{(2x+y)}\right|_{(0,0)}=0
\end{align*}
3階の偏導関数については、
\begin{align*}
\left. \dfrac{\partial^3 f}{\partial x^3}\right|_{(0,0)}&=\left.-8\cos{(2x+y)}\right|_{(0,0)}=-8 \\
\left. \dfrac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}\right|_{(0,0)}&=\left.-4\cos{(2x+y)}\right|_{(0,0)}=-4 \\
\left. \dfrac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}\right|_{(0,0)}&=\left.-2\cos{(2x+y)}\right|_{(0,0)}=-2 \\
\left. \dfrac{\partial^3 f}{\partial y^3}\right|_{(0,0)}&=\left.-\cos{(2x+y)}\right|_{(0,0)}=-1
\end{align*}
ここで、3次の項までテイラー展開を行うと、
\begin{align*}
f(x,y)=2x+y-\dfrac{1}{3!}\left(8x^3+4x^2y+2xy^2+y^3\right)+(\text{4次以上の項})
\end{align*}
って、これだけなんですが、さらに次数が同じ項をまとめてやると、
\begin{align*}
f(x,y)&=(2x+y)-\dfrac{1}{3!}(8x^3+4x^2y+2xy^2+y^3)+(\text{4次以上の項}) \\
&=(2x+y)-\dfrac{1}{3!}(2x+y)^3+(\text{4次以上の項})
\end{align*}
これは、1変数の場合のマクローリン展開
\begin{align*}
\sin{x}=x-\dfrac{1}{3!}x^3+(\text{4次以上の項})
\end{align*}
と同じ形をしています。もちろん、
\begin{align*}
f(x,y)=e^{x}\sin{(x+y)}
\end{align*}
みたいに、$x$$+y$でひとかたまりでない場合にはこのことは言えませんが、ひとかたまりとして見れるのであれば一変数と同じようにマクローリン展開できます。