線形代数⑩ 1次独立・1次従属
1次独立と1次従属の定義
1次というのは1次式ということなのですが、これは線形もいえるので、線形独立、線形従属という場合もあります。1次独立・1次従属とは?
ベクトル$\boldsymbol{u}_i$と$c_i$$\in \mathbb{C}$($i=$$1,2,\cdots ,n$,)に対して、線形結合\begin{align*}
\boldsymbol{v}=c_1\boldsymbol{u}_1+c_2\boldsymbol{u}_2+\cdots c_n\boldsymbol{u}_n
\end{align*}
と表される場合を考えます。ここで、$\boldsymbol{v}$$=\boldsymbol{0}$とすることを考えます。
1次独立・1次従属
\begin{align*}
\boldsymbol{0}=c_1\boldsymbol{u}_1+c_2\boldsymbol{u}_2+\cdots c_n\boldsymbol{u}_n
\end{align*}
とした場合、解が
\begin{align*}
c_1=c_2=\cdots =c_n=0
\end{align*}
に限る場合、1次独立といい、1次独立でない場合を1次従属といいます。
\begin{align*}
\boldsymbol{0}=c_1\boldsymbol{u}_1+c_2\boldsymbol{u}_2+\cdots c_n\boldsymbol{u}_n \Rightarrow \boldsymbol{u}_n=-\dfrac{c_1}{c_n}\boldsymbol{u}_1-\dfrac{c_2}{c_n}\boldsymbol{u}_2-\cdots -\dfrac{c_{n-1}}{c_n}\boldsymbol{u}_{n-1}
\end{align*}
というように、あるベクトルがほかのベクトルで表されることになります。