線形代数⑫ 基底とは? 基底の変換行列と表現行列
表現行列とは?
まず、基底を定義します。基底の変換行列を紹介したのちに表現行列というものに結び付けます。基底とは何か?
基底
ベクトル空間$U$のベクトルの組$\{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\cdots ,\boldsymbol{u}_n\}$について、
\begin{align}
&\boldsymbol{u}_1&\boldsymbol{u}_2&\cdots &\boldsymbol{u}_n\text{は1次独立である} \label{eq:1}\\
& \text{ベクトル空間}U\text{上の任意のベクトルが}\boldsymbol{u}_1&\boldsymbol{u}_2&\cdots &\boldsymbol{u}_n\text{の線形和で表される。} \label{eq:2}
\end{align}
この2条件を満たすとき、$\{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\cdots ,\boldsymbol{u}_n\}$を基底と呼びます。
基底の変換行列とは？
基底の表し方はひととおりではないので、\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{u}_1&\boldsymbol{u}_2&\cdots &\boldsymbol{u}_n
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{u}^\prime_1&\boldsymbol{u}^\prime_2&\cdots &\boldsymbol{u}^\prime_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
というように基底の変換を考えることができます。
基底の変換行列
以下の基底変換を結びつける行列$A$を基底の変換行列といいます。
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{u}^\prime_1&\boldsymbol{u}^\prime_2&\cdots &\boldsymbol{u}^\prime_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{u}_1&\boldsymbol{u}_2&\cdots &\boldsymbol{u}_n
\end{pmatrix}
A
\end{align*}
表現行列とは?
表現行列
ベクトル空間$U$から$V$への線形写像$f$を考えます。$U$の基底
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{u}_1&\boldsymbol{u}_2&\cdots &\boldsymbol{u}_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
と$V$の基底
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots &\boldsymbol{v}_m
\end{pmatrix}
\end{align*}
について、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
f(\boldsymbol{u}_1)&f(\boldsymbol{u}_2)&\cdots &f(\boldsymbol{u}_n)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots &\boldsymbol{v}_m
\end{pmatrix}
A
\end{align*}
となる行列$A$を$\{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\cdots ,\boldsymbol{u}_n\}$,$\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots ,\boldsymbol{v}_m\}$に関する表現行列と呼びます。
基底の変換行列と表現行列の間に成り立つ公式
変換行列と表現行列の関係
$A$:$f$の$\{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\cdots ,\boldsymbol{u}_n\}$,$\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots ,\boldsymbol{v}_m\}$に関する表現行列$B$:$f$の$\{\boldsymbol{u}^\prime_1,\boldsymbol{u}^\prime_2,\cdots ,\boldsymbol{u}^\prime_n\}$,$\{\boldsymbol{v}^\prime_1,\boldsymbol{v}^\prime_2,\cdots ,\boldsymbol{v}^\prime_m\}$に関する表現行列
$P$:$\{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\cdots ,\boldsymbol{u}_n\}$から$\{\boldsymbol{u}^\prime_1,\boldsymbol{u}^\prime_2,\cdots ,\boldsymbol{u}^\prime_n\}$への基底の変換行列
$Q$:$\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots ,\boldsymbol{v}_m\}$から$\{\boldsymbol{v}^\prime_1,\boldsymbol{v}^\prime_2,\cdots ,\boldsymbol{v}^\prime_m\}$への基底の変換行列 とすると、
\begin{align*}
B=Q^{-1}AP
\end{align*}
が成り立ちます。
\begin{align}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots &\boldsymbol{v}_m
\end{pmatrix}
QB=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots &\boldsymbol{v}_m
\end{pmatrix}
AP \label{eq:3}
\end{align}
を示します。
\begin{align*}
(\eqref{eq:3}\text{の左辺})
&=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots &\boldsymbol{v}_m
\end{pmatrix}
QB \\
&=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}^\prime_1&\boldsymbol{v}^\prime_2&\cdots &\boldsymbol{v}^\prime_m
\end{pmatrix}
B \\
&=
\begin{pmatrix}
f(\boldsymbol{u}^\prime_1)&f(\boldsymbol{u}^\prime_2)&\cdots &f(\boldsymbol{u}^\prime_n)
\end{pmatrix}
\end{align*}
また、$P$$=[p_{ij}]$として右辺を計算すると、
\begin{align*}
(\eqref{eq:3}\text{の右辺})
&=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots &\boldsymbol{v}_m
\end{pmatrix}
AP \\
&=
\begin{pmatrix}
f(\boldsymbol{u}_1)&f(\boldsymbol{u}_2)&\cdots &f(\boldsymbol{u}_n)
\end{pmatrix}
P \\
&=
\begin{pmatrix}
\sum_{i=1}^n p_{i1}f(\boldsymbol{u}_i)& \sum_{i=2}^n p_{i2}f(\boldsymbol{u}_i)& \cdots & \sum_{i=1}^n p_{in}f(\boldsymbol{u}_i)
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
f(\boldsymbol{u}^\prime_1)&f(\boldsymbol{u}^\prime_2)&\cdots &f(\boldsymbol{u}^\prime_n)
\end{pmatrix}
\end{align*}
これで、\eqref{eq:3}が示せました。ただし、\eqref{eq:3}からすぐに、$B$$=Q^{-1}AP$は言うのは短絡すぎるので、もう少し説明を加えます。\eqref{eq:3}の右辺の項をすべて左辺に移項して、
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots &\boldsymbol{v}_m
\end{pmatrix}
(QB-AP)
\end{align*}
これが任意の$\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_1&\boldsymbol{v}_2&\cdots &\boldsymbol{v}_m
\end{pmatrix}
$に対して成り立つので、
\begin{align*}
QB-AP=0
\end{align*}
となります。つまり、第二項を右辺に戻して、辺々に左から$Q^{-1}$をかけると、
\begin{align*}
B=Q^{-1}AP
\end{align*}
となります。