線形代数⑯ 直交行列による上三角化
直交行列による上三角化を行う
上三角行列とは対角成分と行列の右上にしか0以外の成分を持たない行列のことです。固有ベクトルをグラム・シュミットの方法で正規直交化したのちに、対角化と同じような作業を行います。直交行列とは?
すべての成分が実数の$n$次正方行列$R$に対して、
このような直交行列をもちいて対角化もどきを行います。今回は証明は大変なので、例題のみです...
\begin{align*}
{}^tRR=E_n
\end{align*}
となる行列$R$を直交行列といいます。
直交行列による上三角化
固有ベクトルを求める
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0\\
2 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\end{align*}
この行列の固有値$\lambda$に属する固有ベクトルを$\boldsymbol{u}_\lambda$と書きます。この結果は、固有値・固有ベクトル・固有多項式の記事で書いているのでそちらを参照して、
\begin{align*}
\boldsymbol{u}_{-1}&=
\begin{pmatrix}
-3 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{u}_3&=
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{u}_4&=
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
とします。これで一次独立な3本のベクトルが得られました。これを正規直交基底に書き直します。
グラム・シュミットの方法で正規直交基底を作る
$\boldsymbol{v}_1$,$\boldsymbol{v}_2$,$\boldsymbol{v}_3$の三つのベクトルを作ります。一旦ノルムを無視して計算したものを$\boldsymbol{v}_i^\prime$とおき、それを正規化します。\begin{align*}
\boldsymbol{v}_1=\dfrac{\boldsymbol{u}_{-1}}{\|\boldsymbol{u}_{-1}\|}=
\dfrac{1}{\sqrt{13}}
\begin{pmatrix}
-3 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
次のベクトルを
\begin{align*}
\boldsymbol{v}^\prime_2=\boldsymbol{u}_3-(\boldsymbol{u}_3\cdot\boldsymbol{v}_1)\boldsymbol{v}_1=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align*}
として正規化して、
\begin{align*}
\boldsymbol{v}_2=\dfrac{\boldsymbol{v}^\prime_2}{\|\boldsymbol{v}^\prime_2\|}=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align*}
3本目のベクトルは、
\begin{align*}
\boldsymbol{v}^\prime_3
&=\boldsymbol{u}_4-(\boldsymbol{u}_4\cdot\boldsymbol{v}_1)\boldsymbol{v}_1-(\boldsymbol{u}_4\cdot\boldsymbol{v}_2)\boldsymbol{v}_2 \\
&=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
-
\dfrac{(-1)}{13}
\begin{pmatrix}
-3 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{1}{13}
\begin{pmatrix}
10 \\
15 \\
0
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\boldsymbol{v}_3
&=\dfrac{ \boldsymbol{v}^\prime_3}{\| \boldsymbol{v}^\prime_3\|} \\
&=
\dfrac{1}{\sqrt{13}}
\begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
0
\end{pmatrix}
\end{align*}
以上をまとめると、
\begin{align*}
\boldsymbol{v}_1&=
\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}
-3 \\
2 \\
0
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{v}_2&=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{v}_3&=
\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
0
\end{pmatrix}
\end{align*}
変換行列を用意する
ここで、以下のような行列を用意します。各ベクトルは一次独立なので、これは正則行列になります。\begin{align*}
P&=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{v}_3
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
-3/\sqrt{13} & 0 & 2/\sqrt{13} \\
2/\sqrt{13} & 0 & 3/\sqrt{13} \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}
-3 & 0 & 2 \\
2 & 0 & 3 \\
0 & \sqrt{13} & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
ちなみに、計算はものすごく大変ですが、逆行列を計算すると、
\begin{align*}
P^{-1}
&=
\begin{pmatrix}
-3/\sqrt{13} & 2/\sqrt{13} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
2/\sqrt{13} & 3/\sqrt{13} & 0
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}
-3 & 2 & 0 \\
0 & 0 & \sqrt{13} \\
2 & 3 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
これらに対して、$P^{-1}AP$を計算すると、
\begin{align*}
P^{-1}AP&=
\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}
-3 & 2 & 0 \\
0 & 0 & \sqrt{13} \\
2 & 3 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0\\
2 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}
-3 & 0 & 2 \\
2 & 0 & 3 \\
0 & \sqrt{13} & 0
\end{pmatrix} \\
&=\dfrac{1}{13}
\begin{pmatrix}
1 & -5 & 0 \\
0 & 0 & 3\sqrt{13} \\
8 & 12 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-3 & 0 & 2 \\
2 & 0 & 3 \\
0 & \sqrt{13} & 0
\end{pmatrix}\\
&=\dfrac{1}{13}
\begin{pmatrix}
-13 & 0 & -13 \\
0 & 39 & 0 \\
0 & 0 & 52
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}
\end{align*}
これで上三角化が完了しました。