ベクトル解析⑧ 面積分(球の表面積の公式の導出)
面積分で球の表面積を導出
スカラー値関数の面積分
スカラー値関数の面積分の計算方法
スカラー値関数の面積分
変数$u$,$v$で指定され、$\boldsymbol{r}$で表される曲面$S$$=S(u,v)$を考えます。$f$をスカラー値関数として、面積分を
\begin{align*}
\int_S f(\boldsymbol{r})dS=\iint f(\boldsymbol{r})\left\|\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u}\times \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{dv}\right\|du\ dv\
\end{align*}
と計算します。
面積素の導出
まず、前提として...一般に面というのは2次元、つまり、基本的に2変数あれば指定できることになります。(ぐちゃぐちゃな面を考えれば無理かもしれませんが、局所的(狭い範囲)では2変数で指定できるでしょう。)$\boldsymbol{r}(u,v)$,$\boldsymbol{r}(u+\Delta u,v)$,$\boldsymbol{r}(u,v+\Delta v)$,$\boldsymbol{r}(u+\Delta u,v+\Delta v)$で囲まれた領域の面積を求めます。$\Delta u$と$\Delta v$が微小として、この領域の面積$\Delta S$を平行四辺形として近似して求めます。
\begin{align}
\Delta S&=\left\|(\boldsymbol{r}(u+\Delta u,v)-\boldsymbol{r}(u,v))\times (\boldsymbol{r}(u,v+\Delta v)-\boldsymbol{r}(u,v))\right\| \nonumber \\
&=\left\|\dfrac{\boldsymbol{r}(u+\Delta u,v)-\boldsymbol{r}(u,v)}{\Delta u}\times \dfrac{\boldsymbol{r}(u,v+\Delta v)-\boldsymbol{r}(u,v)}{\Delta v}\right\|\Delta u \Delta v \nonumber \\
&\to \left\|\dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}\right\|du\ dv=dS \label{eq:1}
\end{align}
スカラー値関数の面積分計算の例題(球面積)
面\(S:x^2+y^2+z^2=a^2\)とします。このとき，面\(S\)上の座標は以下のように表されます。 \begin{align*} \boldsymbol{r}= \begin{pmatrix} a\sin{\theta}\cos{\phi}\\ a\sin{\theta}\sin{\phi}\\ a\cos{\theta} \end{pmatrix} \end{align*} これはパラメータ\(\theta,\phi\)に依存するということがわかりますね。ここで，面素を以下のように書きなおすことができます。 面積素を利用すると， \begin{align*} \iint_S f(\boldsymbol{r})dS=\int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} d\theta f(\boldsymbol{r})\left|\dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial \theta}\times \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial\theta}\right| \end{align*} 今，積分記号と対応する文字を明確にするために左にこれらをわけておきました。ここで，被積分関数中の絶対値の中身を計算すると， \begin{align*} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta}\times \dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial \phi}&= \begin{pmatrix} a\cos{\theta}\cos{\phi}\\ a\cos{\theta}\sin{\phi}\\ -a\sin{\theta} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -a\sin{\theta}\sin{\phi}\\ a\sin{\theta}\cos{\phi}\\ 0 \end{pmatrix} \nonumber \\ &= \begin{pmatrix} a^2\sin^2{\theta}\cos{\phi}\\ a^2\sin^2{\theta}\sin{\phi}\\ a^2\sin{\theta}\cos{\theta}\cos^2{\phi}+a^2\sin{\theta}\cos{\theta}\sin^2{\phi} \end{pmatrix} \nonumber \\ &=a^2 \begin{pmatrix} \sin^2{\theta}\cos{\phi}\\ \sin^2{\theta}\sin{\phi}\\ \sin{\theta}\cos{\theta} \end{pmatrix} \end{align*} 以上より， \begin{align*} \left|\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta}\times \dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial \phi}\right|&=a^2\sqrt{\sin^4{\theta}\cos^2{\phi}+\sin^4{\theta}\sin^2{\phi}+\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}}\\ &=a^2\sqrt{\sin^4{\theta}(\cos^2{\phi}+\sin^2{\phi})+\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}} \nonumber\\ &=a^2\sqrt{\sin^4{\theta}+\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}} \nonumber \\ &=a^2\sqrt{\sin^2{\theta}(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})}\nonumber \\ &=a^2\sin{\theta} \end{align*} 最後の変形には\(0\leq \theta\leq \pi\)で\(\sin{\theta}\geq 0\)であることを用いました。ちなみに，この結果は3次元の極座標変換におけるヤコビアンです。(参考:重積分(ヤコビアンなど))面積は\(f(\boldsymbol{x})=1\)とすれば求められます。 \begin{align*} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi d\theta\ a^2\sin{\theta}&=\int_0^{2\pi}2a^2d\phi=4\pi a^2 \end{align*} これが半径\(a\)の球の表面積です！
ベクトル値関数の面積分
ベクトル値関数の面積分の計算方法
ベクトル値関数の面積分
変数$u$,$v$で指定され、$\boldsymbol{r}$で表される曲面$S$$=S(u,v)$を考えます。ベクトル値関数$\boldsymbol{F}$に対して、面積分を
\begin{align*}
\int_S \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot\boldsymbol{n}dS=\iint \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\cdot\left(\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u}\times \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{dv}\right)du\ dv
\end{align*}
と計算します。ただし、$\boldsymbol{n}$は面$S$の単位法線ベクトルで外を向いているものとします。
\begin{align*}
\boldsymbol{n}=\dfrac{\dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}}{\left\|\dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}\right\|}
\end{align*}
となります。というのは、この分子が表しているのは、${\partial\boldsymbol{r}}/{\partial u}$と${\partial\boldsymbol{r}}/{\partial v}$に囲まれた平行四辺形の面積の大きさをもち、その面に垂直なベクトルです。
つまり、大きさだけ1にそろえてあげれば単位法線ベクトルになります。\eqref{eq:1}より
\begin{align*}
\boldsymbol{n}dS=\dfrac{\dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}}{\left\|\dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}\right\|}\left\|\dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}\right\|du\ dv
=\dfrac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}du\ dv
\end{align*}